Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4215
2019-07-23 
Через концы дуги окружности, содержащей $120^{\circ}$, проведены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Докажите, что её длина равна длине исходной дуги.
Решение:
Пусть $R$ и $r$ - радиусы данных окружностей. Тогда длина дуги, о которой говорится в условии задачи, равна $\frac{1}{3}$ длины окружности радиуса $R$, т.е. $\frac{1}{3}\cdot2\pi R=\frac{2\pi R}{3}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами в центрах данных окружностей и в основании перпендикуляра, опущенного из центра второй окружности на радиус первой окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон угла. Его катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы, т.е. $R-r=\frac{1}{2}(R+r)$. Поэтому $r=\frac{R}{3}$. Следовательно, длина меньшей окружности также равна $\frac{2\pi R}{3}$.
Через концы дуги окружности, содержащей $120^{\circ}$, проведены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Докажите, что её длина равна длине исходной дуги.
Решение:
Пусть $R$ и $r$ - радиусы данных окружностей. Тогда длина дуги, о которой говорится в условии задачи, равна $\frac{1}{3}$ длины окружности радиуса $R$, т.е. $\frac{1}{3}\cdot2\pi R=\frac{2\pi R}{3}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами в центрах данных окружностей и в основании перпендикуляра, опущенного из центра второй окружности на радиус первой окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон угла. Его катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы, т.е. $R-r=\frac{1}{2}(R+r)$. Поэтому $r=\frac{R}{3}$. Следовательно, длина меньшей окружности также равна $\frac{2\pi R}{3}$.
