Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4212
2019-07-23 
В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$, радиус вписанной окружности равен $r$. Найдите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон $BC$ и $BA$, а другая - $BC$ и $CA$.
Решение:
Первый способ. Если $x$ - искомый радиус, то
$xctg\frac{1}{2}\angle B+xctg\frac{1}{2}\angle C+2x=a,$
а т.к.
$rctg\frac{1}{2}\angle B+rctg\frac{1}{2}\angle C=a,$
то
$ctg\frac{1}{2}\angle B+ctg\frac{1}{2}\angle C=\frac{a}{r},~\frac{ax}{r}+2x=a.$
Следовательно, $x=\frac{ar}{a+2r}$.
Второй способ. Обозначим через $x$ искомый радиус. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры указанных равных окружностей. Тогда лучи $BO_{1}$ и $CO_{2}$ пересекаются в центре $O$ вписанной окружности треугольника $ABC$.
Отношение высот подобных треугольников $OO_{1}O_{2}$ и $OBC$, проведённых из общей вершины $O$, равно отношению соответствующих сторон, т.е.
$\frac{r-x}{r}=\frac{2x}{a}.$
Следовательно, $x=\frac{ar}{a+2r}$.
В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$, радиус вписанной окружности равен $r$. Найдите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон $BC$ и $BA$, а другая - $BC$ и $CA$.
Решение:
Первый способ. Если $x$ - искомый радиус, то
$xctg\frac{1}{2}\angle B+xctg\frac{1}{2}\angle C+2x=a,$
а т.к.
$rctg\frac{1}{2}\angle B+rctg\frac{1}{2}\angle C=a,$
то
$ctg\frac{1}{2}\angle B+ctg\frac{1}{2}\angle C=\frac{a}{r},~\frac{ax}{r}+2x=a.$
Следовательно, $x=\frac{ar}{a+2r}$.
Второй способ. Обозначим через $x$ искомый радиус. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры указанных равных окружностей. Тогда лучи $BO_{1}$ и $CO_{2}$ пересекаются в центре $O$ вписанной окружности треугольника $ABC$.
Отношение высот подобных треугольников $OO_{1}O_{2}$ и $OBC$, проведённых из общей вершины $O$, равно отношению соответствующих сторон, т.е.
$\frac{r-x}{r}=\frac{2x}{a}.$
Следовательно, $x=\frac{ar}{a+2r}$.
