Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4211
2019-07-23 
В четырёхугольнике $ABCD$ расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон $AB$, $BC$ и $CD$, а другая - сторон $AB$, $AD$ и $CD$. Прямая $MN$ пересекает стороны $AB$ и $CD$ соответственно в точках $M$ и $N$ и касается обеих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если периметр четырёхугольника $MBCN$ равен $2p$, $BC=a$ и разность радиусов окружностей равна $r$.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры данных окружностей, $F$ и $Q$ - точки их касания со стороной $AB$. Тогда $FQ=MN=p-a$.
Пусть $K$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{1}$ на $QO_{2}$. Тогда
$KO_{2}=|QO_{2}-FO_{1}|=r.$
Отсюда находим, что
$O_{1}O^{2}_{2}=r^{2}+(p-a)^{2}.$
В четырёхугольнике $ABCD$ расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон $AB$, $BC$ и $CD$, а другая - сторон $AB$, $AD$ и $CD$. Прямая $MN$ пересекает стороны $AB$ и $CD$ соответственно в точках $M$ и $N$ и касается обеих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если периметр четырёхугольника $MBCN$ равен $2p$, $BC=a$ и разность радиусов окружностей равна $r$.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры данных окружностей, $F$ и $Q$ - точки их касания со стороной $AB$. Тогда $FQ=MN=p-a$.
Пусть $K$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{1}$ на $QO_{2}$. Тогда
$KO_{2}=|QO_{2}-FO_{1}|=r.$
Отсюда находим, что
$O_{1}O^{2}_{2}=r^{2}+(p-a)^{2}.$
