ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Для некоторого многочлена $P(x)$ степени $n$ и некоторых чисел $a < b$ выполнены неравенства
$P(a) < 0, - P^{\prime} \leq 0, P^{\prime \prime} \leq 0, \cdots, (-1)^{n}P^{(n)} \leq 0$,
$P(b) > 0, P^{\prime}(b) \geq 0, P^{\prime \prime}(b) \geq 0, \cdots, P^{(n)}(b) \geq 0$.
Доказать, что все действительные корни многочлена $P(x)$ принадлежат интервалу $(a; b)$.


Решение:


Рассмотрим многочлен
$Q(x) = P(a-x) = a_{n}x^{n} + \cdots + a_{1}x + a_{0}$.
Тогда имеем
$a_{0} = Q(0) = P (a) < 0$,
$a_{1} = Q^{\prime}(0) = - P^{\prime} (a) \leq 0$,
$a_{2} = \frac{Q^{\prime \prime}(0)}{2!} = \frac{(-1)^{2}P^{\prime \prime}(a)}{2!} \leq 0$,
$\cdots$
$a_{n} = \frac{Q^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^{n}P^{(n)}(a)}{n!} \leq 0$.
Поэтому $Q(x) < 0$ для всех $x \geq 0$, а значит, многочлен $P(x)$ не имеет корней при $x \in (- \infty; a]$. Аналогично, для многочлена
$R(x) = P(b+x)=b_{n}x^{n}+ \cdots + b_{1}x + b_{0}$
имеем
$b_{0} = R(0) = P (b) > 0$,
$b_{1} = R^{\prime}(0) = P^{\prime} (b) \geq 0$,
$b_{2} = \frac{R^{\prime \prime}(0)}{2!} = \frac{P^{\prime \prime}(b)}{2!} \geq 0$,
$\cdots$
$b_{n} = \frac{R^{(n)}(0)}{n!} = \frac{P^{(n)}(b)}{n!} \geq 0$.
откуда $R(x) > 0$ при $x \geq 0$. Следовательно, многочлен $P(x)$ не имеет корней и при $x \in [b; + \infty)$. Тем самым доказано, что все действительные корни многочлена $P(x)$ лежат на $(a; b)$.