Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4209
2019-07-23 
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с острым углом $A$, равным $30^{\circ}$, проведена биссектриса $BD$ другого острого угла. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $CBD$, если меньший катет равен 1.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O$ - центры данных окружностей, $P$ и $Q$ - точки их касания со стороной $AC$. Тогда
$AC=\sqrt{3},~DC=\frac{\sqrt{3}}{3},~AD=\frac{2\sqrt{3}}{3},~BD=\frac{2\sqrt{3}}{3},~AB=2;$
$DP=\frac{AD+AB+BD}{2}-AB=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}};$
$DQ=\frac{DC+CB+DB}{2}-BC=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$DO_{1}=\frac{DP}{\cos60^{\circ}}=\frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}};~DO_{2}=\frac{DQ}{\cos30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}.$
Поскольку треугольник $O_{1}DO_{2}$ прямоугольный, то
$O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}D^{2}+O_{2}D^{2}=\left(\frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{96-54\sqrt{3}}{9}.$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с острым углом $A$, равным $30^{\circ}$, проведена биссектриса $BD$ другого острого угла. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $CBD$, если меньший катет равен 1.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O$ - центры данных окружностей, $P$ и $Q$ - точки их касания со стороной $AC$. Тогда
$AC=\sqrt{3},~DC=\frac{\sqrt{3}}{3},~AD=\frac{2\sqrt{3}}{3},~BD=\frac{2\sqrt{3}}{3},~AB=2;$
$DP=\frac{AD+AB+BD}{2}-AB=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}};$
$DQ=\frac{DC+CB+DB}{2}-BC=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$DO_{1}=\frac{DP}{\cos60^{\circ}}=\frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}};~DO_{2}=\frac{DQ}{\cos30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}.$
Поскольку треугольник $O_{1}DO_{2}$ прямоугольный, то
$O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}D^{2}+O_{2}D^{2}=\left(\frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{96-54\sqrt{3}}{9}.$
