Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4208
2019-07-23 
В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=3$, $BC=4$ и $AC=5$ проведена биссектриса $BD$. В треугольники $ABD$ и $BCD$ вписаны окружности, которые касаются $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $MN$.
Решение:
По свойству биссектрисы треугольника
$AD=\frac{3}{7}AC=\frac{15}{7},~DC=\frac{4}{7}AC=\frac{20}{7}.$
Пусть $P$ и $Q$ - точки касания окружностей со стороной $BD$. Тогда
$MN=|MD-ND|=|PD-QD|=\left|\left(\frac{AB+BD+AD}{2}-AB\right)-\left(\frac{BC+BD+CD}{2}-BC\right)\right|=\left|\left(\frac{3+BD+\frac{15}{7}}{2}-3\right)-\left(\frac{4+BD+\frac{20}{7}}{2}-4\right)\right|=\frac{1}{7}.$
В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=3$, $BC=4$ и $AC=5$ проведена биссектриса $BD$. В треугольники $ABD$ и $BCD$ вписаны окружности, которые касаются $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $MN$.
Решение:
По свойству биссектрисы треугольника
$AD=\frac{3}{7}AC=\frac{15}{7},~DC=\frac{4}{7}AC=\frac{20}{7}.$
Пусть $P$ и $Q$ - точки касания окружностей со стороной $BD$. Тогда
$MN=|MD-ND|=|PD-QD|=\left|\left(\frac{AB+BD+AD}{2}-AB\right)-\left(\frac{BC+BD+CD}{2}-BC\right)\right|=\left|\left(\frac{3+BD+\frac{15}{7}}{2}-3\right)-\left(\frac{4+BD+\frac{20}{7}}{2}-4\right)\right|=\frac{1}{7}.$
