Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4207
2019-07-23 
Прямоугольный треугольник $ABC$ разделён высотой $CD$, проведённой к гипотенузе, на два треугольника: $BCD$ и $ACD$. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3 соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Решение:
Пусть $r$ - искомый радиус, $r_{1}$ и $r_{2}$ - радиусы данных окружностей. Из подобия треугольников $CBD$ и $ABC$ находим, что $\frac{r_{1}}{r}=\frac{BC}{AB}$, а из подобия треугольников $ACD$ и $ABC$ - $\frac{r_{2}}{r}=\frac{AC}{AB}$. Возведём обе части этих равенств в квадрат и сложим почленно полученные равенства. Тогда
$\frac{r^{2}_{1}}{r^{2}}+\frac{r^{2}_{2}}{r^{2}}=\frac{BC^{2}}{AB^{2}}+\frac{AC^{2}}{AB^{2}}=1,~r^{2}=r^{2}_{1}+r^{2}_{2}=16+9=25.$
Следовательно, $r=5$.
Прямоугольный треугольник $ABC$ разделён высотой $CD$, проведённой к гипотенузе, на два треугольника: $BCD$ и $ACD$. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3 соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Решение:
Пусть $r$ - искомый радиус, $r_{1}$ и $r_{2}$ - радиусы данных окружностей. Из подобия треугольников $CBD$ и $ABC$ находим, что $\frac{r_{1}}{r}=\frac{BC}{AB}$, а из подобия треугольников $ACD$ и $ABC$ - $\frac{r_{2}}{r}=\frac{AC}{AB}$. Возведём обе части этих равенств в квадрат и сложим почленно полученные равенства. Тогда
$\frac{r^{2}_{1}}{r^{2}}+\frac{r^{2}_{2}}{r^{2}}=\frac{BC^{2}}{AB^{2}}+\frac{AC^{2}}{AB^{2}}=1,~r^{2}=r^{2}_{1}+r^{2}_{2}=16+9=25.$
Следовательно, $r=5$.
