ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-18   
В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AB$ и $AC$ равны 4 и 3 соответственно. Точка $D$ делит гипотенузу $BC$ пополам. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ADC$ и $ABD$.


Решение:



Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, вписанных в треугольники $ADC$ и $ABD$ соответственно, $P$ и $Q$ - их точки касания со стороной $BC$. Обозначим $\angle ADB=\alpha$.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, поэтому треугольника $ADB$ равнобедренный. Тогда

$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{4}{5},~\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{5},$

$DQ=\frac{DB+AD+AB)}{2}-AB=\frac{1}{2}$

Аналогично находим, что $DP=1$. Тогда

$DO_{2}=\frac{DQ}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{5}{6},$

$DO_{1}=\frac{DP}{\cos\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{DP}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{5}{4},$

$O_{1}O^{2}_{2}=DO^{2}_{1}+DO^{2}_{2}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{25\cdot13}{144}.$

Следовательно,

$O_{1}O_{2}=\frac{5\sqrt{13}}{12}.$