ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-18   
Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, в каждый из которых вписана окружность. Найдите углы и площадь треугольника, образованного катетами исходного треугольника и прямой, проходящей через центры этих окружностей, если высота исходного треугольника равна $h$.


Решение:



Пусть $ABC$ - данный треугольник, $\angle C=90^{\circ}$, $CD$ - его высота, $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $BCD$, $r_{1}$ и $r_{2}$ - их радиусы, $P$ и $Q$ - точки касания со сторонами $AC$ и $BC$, $L$ и $K$ - со стороной $DC$, $M$ и $N$ - точки пересечения прямой $O_{1}O_{2}$ со сторонами $AC$ и $BC$, $F$ - точка пересечения прямых $PO_{1}$ и $QO_{2}$.
Тогда $PCQF$ - прямоугольник, $PF=CQ$, $QF=CP$. Поэтому

$FO_{1}=PF-r_{1}=CQ-r_{1}=CK-r_{1},$

$FO_{2}=FQ-r_{2}=CP-r_{2}=CL-r_{2}.$

Поскольку $CK+r_{2}=CL+r_{1}=CD$, то $CK-r_{1}=CL-r_{2}$. Поэтому $\angle FO_{1}O_{2}=45^{\circ}$. Следовательно,

$\angle CNM=45^{\circ},~CN=CQ+r_{2}=CK+r_{2}=CD=h.$