Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4203
2019-07-18 
Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Окружность $S_{1}$, вписанная в треугольник $ABD$, касается отрезка $BD$ в точке $M$; окружность $S_{2}$, вписанная в треугольник $BCD$, - в точке $N$. Отношение радиусов окружностей $S_{1}$ и $S_{2}$ равно $\frac{7}{4}$. Известно, что $BM=3$, $MN=ND=1$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение:
Первый способ. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей $S_{1}$ и $S_{2}$, $r_{1}$ и $r_{2}$ - их радиусы, $P$ и $Q$ - точки касания со сторонами соответственно $AD$ и $DC$. Обозначим $\angle BDC=\alpha$. Поскольку $\angle O_{1}DO_{2}=90^{\circ}$ и $\angle O_{2}DQ=\frac{\alpha}{2}$, то $\angle O_{1}DP=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$. Поэтому
$r_{1}=DPctg\frac{\alpha}{2}=DMctg\frac{\alpha}{2}=2ctg\frac{\alpha}{2},~r_{2}=DQtg\frac{\alpha}{2}=DNtg\frac{\alpha}{2}=tg\frac{\alpha}{2}.$
Значит, $r_{1}r_{2}=2$.
С другой стороны, $\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{7}{4}$. Из полученной системы уравнений находим, что
$r_{2}=\sqrt{\frac{8}{7}},~r_{1}=\frac{7}{4}\sqrt{\frac{8}{7}}.$
Следовательно,
$tg\frac{\alpha}{2}=r_{2}=\sqrt{\frac{8}{7}},~\cos\alpha=\frac{1-tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=-\frac{1}{15}.$
Обозначим $CQ=x$. В треугольнике $BCD$ известно, что
$BD=5,~CD=1+x,~BC=x+4,~\cos\angle BDC=-\frac{1}{15}.$
По теореме косинусов
$(x+4)^{2}=25+(x+1)^{2}+2\cdot5\cdot(x+1)\cdot\frac{1}{15}.$
Из этого уравнения находим, что $x=2$. Аналогично находим, что $AP=7$. Следовательно,
$AC=AP+PD+DQ+QC=7+2+1+2=12,$
$BC=CQ+BN=2+4=6,~AB=AP+BM=7+3=10.$
Второй способ. Обозначим $AP=x$ ($P$ - точка касания первой окружности со стороной $AD$) и выразим площадь треугольника $ABD$ по формуле Герона, а также через полупериметр и $r_{1}$. Решив полученное уравнение, найдём, что $x=7$. Аналогично найдём $CQ$.
Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Окружность $S_{1}$, вписанная в треугольник $ABD$, касается отрезка $BD$ в точке $M$; окружность $S_{2}$, вписанная в треугольник $BCD$, - в точке $N$. Отношение радиусов окружностей $S_{1}$ и $S_{2}$ равно $\frac{7}{4}$. Известно, что $BM=3$, $MN=ND=1$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение:
Первый способ. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей $S_{1}$ и $S_{2}$, $r_{1}$ и $r_{2}$ - их радиусы, $P$ и $Q$ - точки касания со сторонами соответственно $AD$ и $DC$. Обозначим $\angle BDC=\alpha$. Поскольку $\angle O_{1}DO_{2}=90^{\circ}$ и $\angle O_{2}DQ=\frac{\alpha}{2}$, то $\angle O_{1}DP=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$. Поэтому
$r_{1}=DPctg\frac{\alpha}{2}=DMctg\frac{\alpha}{2}=2ctg\frac{\alpha}{2},~r_{2}=DQtg\frac{\alpha}{2}=DNtg\frac{\alpha}{2}=tg\frac{\alpha}{2}.$
Значит, $r_{1}r_{2}=2$.
С другой стороны, $\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{7}{4}$. Из полученной системы уравнений находим, что
$r_{2}=\sqrt{\frac{8}{7}},~r_{1}=\frac{7}{4}\sqrt{\frac{8}{7}}.$
Следовательно,
$tg\frac{\alpha}{2}=r_{2}=\sqrt{\frac{8}{7}},~\cos\alpha=\frac{1-tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=-\frac{1}{15}.$
Обозначим $CQ=x$. В треугольнике $BCD$ известно, что
$BD=5,~CD=1+x,~BC=x+4,~\cos\angle BDC=-\frac{1}{15}.$
По теореме косинусов
$(x+4)^{2}=25+(x+1)^{2}+2\cdot5\cdot(x+1)\cdot\frac{1}{15}.$
Из этого уравнения находим, что $x=2$. Аналогично находим, что $AP=7$. Следовательно,
$AC=AP+PD+DQ+QC=7+2+1+2=12,$
$BC=CQ+BN=2+4=6,~AB=AP+BM=7+3=10.$
Второй способ. Обозначим $AP=x$ ($P$ - точка касания первой окружности со стороной $AD$) и выразим площадь треугольника $ABD$ по формуле Герона, а также через полупериметр и $r_{1}$. Решив полученное уравнение, найдём, что $x=7$. Аналогично найдём $CQ$.
