Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4200
2019-07-18 
В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $D$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BCD$, касаются стороны $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AM=3$, $MD=2$, $DN=2$, $NC=4$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение:
Поскольку $DM=DN$, то окружности касаются $BD$ в одной и той же точке. Обозначим её через $T$. Пусть $P$ и $Q$ - точки касания окружностей со сторонами $AB$ и $AC$, $BP=BT=BQ=x$.
По формуле Герона
$S_{\Delta ABD}=\sqrt{(x+5)\cdot x\cdot2\cdot3},~S_{\Delta BCD}=\sqrt{(x+6)\cdot x\cdot2\cdot4}.$
С другой стороны, $\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta BCD}}=\frac{AD}{DC}=\frac{5}{6}$. Из уравнения
$\frac{\sqrt{(x+5)\cdot x\cdot2\cdot3}}{\sqrt{(x+6)\cdot x\cdot2\cdot4}}=\frac{5}{6}$
находим, что $x=\frac{15}{2}$. Следовательно,
$AB=3+x=\frac{21}{2},~BC=4+x=\frac{23}{2}.$
В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $D$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BCD$, касаются стороны $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AM=3$, $MD=2$, $DN=2$, $NC=4$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение:
Поскольку $DM=DN$, то окружности касаются $BD$ в одной и той же точке. Обозначим её через $T$. Пусть $P$ и $Q$ - точки касания окружностей со сторонами $AB$ и $AC$, $BP=BT=BQ=x$.
По формуле Герона
$S_{\Delta ABD}=\sqrt{(x+5)\cdot x\cdot2\cdot3},~S_{\Delta BCD}=\sqrt{(x+6)\cdot x\cdot2\cdot4}.$
С другой стороны, $\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta BCD}}=\frac{AD}{DC}=\frac{5}{6}$. Из уравнения
$\frac{\sqrt{(x+5)\cdot x\cdot2\cdot3}}{\sqrt{(x+6)\cdot x\cdot2\cdot4}}=\frac{5}{6}$
находим, что $x=\frac{15}{2}$. Следовательно,
$AB=3+x=\frac{21}{2},~BC=4+x=\frac{23}{2}.$
