Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4198
2019-07-18 
В прямоугольной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 4, вписана в трапецию, а вторая, радиуса 1, касается двух сторон трапеции и первой окружности. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в данную трапецию $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ и боковыми сторонами $AD$ и $BC$ ($AD\lt BC$, $DC\lt AB$). Ясно, что вторая окружность касается большей боковой стороны $BC$.
Обозначим через $\alpha$ угол $ABC$. Тогда, опустив перпендикуляр $O_{1}K$ из центра второй окружности на радиус первой, проведённый в точку $M$ её касания с $BC$, найдём:
$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{5},~\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{4}{5},~tg\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{4}.$
Из треугольника $BOM$ находим, что $BM=\frac{16}{3}$. Значит,
$CM=3,~BC=\frac{25}{3},$
а т.к. трапеция описанная, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон, т.е. $8+\frac{25}{3}=\frac{49}{3}$. Следовательно,
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{49}{3}\cdot8=\frac{196}{3}.$
В прямоугольной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 4, вписана в трапецию, а вторая, радиуса 1, касается двух сторон трапеции и первой окружности. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в данную трапецию $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ и боковыми сторонами $AD$ и $BC$ ($AD\lt BC$, $DC\lt AB$). Ясно, что вторая окружность касается большей боковой стороны $BC$.
Обозначим через $\alpha$ угол $ABC$. Тогда, опустив перпендикуляр $O_{1}K$ из центра второй окружности на радиус первой, проведённый в точку $M$ её касания с $BC$, найдём:
$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{5},~\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{4}{5},~tg\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{4}.$
Из треугольника $BOM$ находим, что $BM=\frac{16}{3}$. Значит,
$CM=3,~BC=\frac{25}{3},$
а т.к. трапеция описанная, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон, т.е. $8+\frac{25}{3}=\frac{49}{3}$. Следовательно,
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{49}{3}\cdot8=\frac{196}{3}.$
