Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 419
2014-06-07 
Многочлен
$ax^{n} – ax^{n-1} + c_{2}x^{n-2} + \cdots + c_{n-2}x^{2} – n^{2}bx + b$
имеет ровно $n$ положительных корней. Доказать, что все Пи корни равны между собой.
Решение:
Так как исходный многочлен имеет $n$ положительных корней $x_{1}, \cdots, x_{n}$, то его степень не меньше $n$, Поэтому $a \neq 0$, и по теореме Виета имеем
$x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n} = 1$,
$(-1)^{n} \sum_{i=1}^{n} x_{1}x_{2} \cdots x_{i-1}x_{i+1} \cdots x_{n} = n^{2} \frac{b}{a}$,
$(-1)^{n} x_{1}x_{2} \cdots x_{n} = \frac{b}{a}$,
откуда $b \neq 0$. Учитывая теорему о средних, получаем условие
$n^{2} = 1 \cdot \frac{(-1)^{n}n^{2}b/a}{(-1)^{n}b/a} = (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}) \left ( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \cdots + \frac{1}{x_{n}} \right ) \geq$
$\geq (n \sqrt[n]{x_{1}x_{2} \cdots x_{n}}) \left ( n \sqrt[n]{\frac{1}{x_{1}} \frac{1}{x_{2}} \cdots \frac{1}{x_{n}}} \right ) = n^{2}$,
которое выполняется лишь в случае, когда
$x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = 1/n$.
Многочлен
$ax^{n} – ax^{n-1} + c_{2}x^{n-2} + \cdots + c_{n-2}x^{2} – n^{2}bx + b$
имеет ровно $n$ положительных корней. Доказать, что все Пи корни равны между собой.
Решение:
Так как исходный многочлен имеет $n$ положительных корней $x_{1}, \cdots, x_{n}$, то его степень не меньше $n$, Поэтому $a \neq 0$, и по теореме Виета имеем
$x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n} = 1$,
$(-1)^{n} \sum_{i=1}^{n} x_{1}x_{2} \cdots x_{i-1}x_{i+1} \cdots x_{n} = n^{2} \frac{b}{a}$,
$(-1)^{n} x_{1}x_{2} \cdots x_{n} = \frac{b}{a}$,
откуда $b \neq 0$. Учитывая теорему о средних, получаем условие
$n^{2} = 1 \cdot \frac{(-1)^{n}n^{2}b/a}{(-1)^{n}b/a} = (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}) \left ( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \cdots + \frac{1}{x_{n}} \right ) \geq$
$\geq (n \sqrt[n]{x_{1}x_{2} \cdots x_{n}}) \left ( n \sqrt[n]{\frac{1}{x_{1}} \frac{1}{x_{2}} \cdots \frac{1}{x_{n}}} \right ) = n^{2}$,
которое выполняется лишь в случае, когда
$x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = 1/n$.
