Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4188
2019-07-18 
Радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $\sqrt{3}-1$. Угол $BAC$ равен $60^{\circ}$, а радиус окружности, касающейся стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$, равен $\sqrt{3}+1$. Найдите углы $ABC$ и $ACB$ данного треугольника.
Решение:
Пусть $O$ и $O_{1}$ - центры окружностей радиусов $\sqrt{3}-1$ и $\sqrt{3}+1$ соответственно, $P$ и $N$ - точки касания окружностей с прямой $AC$, $M$ - точка пересечения биссектрисы $AO_{1}$ угла $A$ со стороной $BC$. Тогда
$OO_{1}=AO_{1}-AO=2O_{1}N-2OP=4.$
Опустим перпендикуляр $OF$ на продолжение радиуса большей окружности, проведённого в точку касания с прямой $BC$. Тогда
$O_{1}F=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1=2\sqrt{3},~\cos\angle FO_{1}O=\frac{O_{1}F}{O_{1}O}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
Следовательно,
$\angle FO_{1}O=30^{\circ},~\angle CMA=60^{\circ},~\angle ABC=\angle CMA-\angle MAB=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ},$
$\angle ACB=90^{\circ}.$
Радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $\sqrt{3}-1$. Угол $BAC$ равен $60^{\circ}$, а радиус окружности, касающейся стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$, равен $\sqrt{3}+1$. Найдите углы $ABC$ и $ACB$ данного треугольника.
Решение:
Пусть $O$ и $O_{1}$ - центры окружностей радиусов $\sqrt{3}-1$ и $\sqrt{3}+1$ соответственно, $P$ и $N$ - точки касания окружностей с прямой $AC$, $M$ - точка пересечения биссектрисы $AO_{1}$ угла $A$ со стороной $BC$. Тогда
$OO_{1}=AO_{1}-AO=2O_{1}N-2OP=4.$
Опустим перпендикуляр $OF$ на продолжение радиуса большей окружности, проведённого в точку касания с прямой $BC$. Тогда
$O_{1}F=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1=2\sqrt{3},~\cos\angle FO_{1}O=\frac{O_{1}F}{O_{1}O}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
Следовательно,
$\angle FO_{1}O=30^{\circ},~\angle CMA=60^{\circ},~\angle ABC=\angle CMA-\angle MAB=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ},$
$\angle ACB=90^{\circ}.$
