ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-18   
Площадь треугольника $ABC$ равна $2\sqrt{3}-3$, а угол $BAC$ равен $60^{\circ}$. Радиус окружности, касающейся стороны $BC$ и продолжения сторон $AB$ и $AC$, равен 1. Найдите углы $ABC$ и $ACB$ данного треугольника.


Решение:



Пусть $O_{1}$ - центр данной окружности, $N$ - её точка касания с прямой $AC$, $K$ - со стороной $BC$.
Из прямоугольного треугольника $AO_{1}N$ находим, что

$AN=O_{1}Nctg30^{\circ}=\sqrt{3}.$

С другой стороны, $AN$ равно полупериметру $p$ треугольника $ABC$ (см. задачу @H4805). Радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ равен

$\frac{S_{\Delta ABC}}{p}=\frac{2\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}.$

Если $O$ - центр этой окружности, а $P$ - точка касания со стороной $AC$, то

$O_{1}O=AO_{1}-AO=2O_{1}N-2OP=2(\sqrt{3}-1).$


Пусть $F$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на продолжение отрезка $O_{1}K$. Тогда

$\cos\angle OO_{1}F=\frac{O_{1}F}{O_{1}O}=\frac{1+2-\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Поэтому $\angle OO_{1}F=30^{\circ}$. Если отрезки $OO_{1}$ и $BC$ пересекаются и точке $Q$, то

$\angle AQB=\angle O_{1}QK=60^{\circ}.$

Следовательно,

$\angle BCA=\angle AQB-\angle QAC=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}.$