Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4186
2019-07-18 
Докажите, что площадь треугольника можно выразить по формуле $S=(p-a)r_{a}$, где $r_{a}$ - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной $a$, $p$ - полупериметр треугольника.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности радиуса $r_{a}$, касающейся стороны $BC=a$ треугольника $ABC$ в точке $Q$, а продолжений сторон $AB=c$ и $AC=b$ - в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда
$S_{\Delta ABC}=S_{\Delta AOB}+S_{\Delta AOC}-S_{\Delta BOC}=\frac{1}{2}AB\cdot OM+\frac{1}{2}AC\cdot ON-\frac{1}{2}BC\cdot OQ=\frac{1}{2}c\cdot r_{a}+\frac{1}{2}b\cdot r_{a}-\frac{1}{2}a\cdot r_{a}=\frac{c+b-a}{2}r_{a}=(p-a)r_{a}.$
Докажите, что площадь треугольника можно выразить по формуле $S=(p-a)r_{a}$, где $r_{a}$ - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной $a$, $p$ - полупериметр треугольника.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности радиуса $r_{a}$, касающейся стороны $BC=a$ треугольника $ABC$ в точке $Q$, а продолжений сторон $AB=c$ и $AC=b$ - в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда
$S_{\Delta ABC}=S_{\Delta AOB}+S_{\Delta AOC}-S_{\Delta BOC}=\frac{1}{2}AB\cdot OM+\frac{1}{2}AC\cdot ON-\frac{1}{2}BC\cdot OQ=\frac{1}{2}c\cdot r_{a}+\frac{1}{2}b\cdot r_{a}-\frac{1}{2}a\cdot r_{a}=\frac{c+b-a}{2}r_{a}=(p-a)r_{a}.$
