Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4185
2019-07-18 
Дана прямоугольная трапеция. Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите основания исходной трапеции, если её боковые стороны равны $c$ и $d$ $(c\lt d)$.
Решение:
Пусть указанная прямая пересекает боковые стороны $AB=d$ и $CD=c$ трапеции $ABCD$ соответственно в точках $M$ и $N$. Обозначим искомые основания $AD$ и $BC$ через $x$ и $y$ соответственно ($x\lt y$). При гомотетии с центром в точке пересечения прямых $AB$ и $CD$, переводящей окружность, вписанную в трапецию $AMND$, в окружность, вписанную в трапецию $MBCN$, первая трапеция переходит во вторую. Значит, трапеции $AMND$ и $MBCN$ подобны. Поэтому $\frac{AD}{MN}=\frac{MN}{BC}$. Отсюда находим, что $MN=\sqrt{xy}$.
Сложив почленно равенства
$BC+MN=BM+CN,~MN+AD=AM+DN,$
получим, что
$x+2\sqrt{xy}+y=c+d,~\mbox{или}~(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}=c+d.$
Кроме того, $(y-x)^{2}=d^{2}-c^{2}$.
После упрощения получим линейную систему относительно $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$:
$\begin{cases}\sqrt{y}+\sqrt{x}=\sqrt{d+c}\\\sqrt{y}-\sqrt{x}=\sqrt{d-c}. \end{cases}$
Поскольку $x\lt y$, то
$\sqrt{x}=\frac{\sqrt{d+c}-\sqrt{d-c}}{2},~\sqrt{y}=\frac{\sqrt{d+c}+\sqrt{d-c}}{2}.$
Следовательно,
$x=\frac{d-\sqrt{d^{2}-c^{2}}}{2},~y=\frac{d+\sqrt{d^{2}-c^{2}}}{2}.$
Дана прямоугольная трапеция. Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите основания исходной трапеции, если её боковые стороны равны $c$ и $d$ $(c\lt d)$.
Решение:
Пусть указанная прямая пересекает боковые стороны $AB=d$ и $CD=c$ трапеции $ABCD$ соответственно в точках $M$ и $N$. Обозначим искомые основания $AD$ и $BC$ через $x$ и $y$ соответственно ($x\lt y$). При гомотетии с центром в точке пересечения прямых $AB$ и $CD$, переводящей окружность, вписанную в трапецию $AMND$, в окружность, вписанную в трапецию $MBCN$, первая трапеция переходит во вторую. Значит, трапеции $AMND$ и $MBCN$ подобны. Поэтому $\frac{AD}{MN}=\frac{MN}{BC}$. Отсюда находим, что $MN=\sqrt{xy}$.
Сложив почленно равенства
$BC+MN=BM+CN,~MN+AD=AM+DN,$
получим, что
$x+2\sqrt{xy}+y=c+d,~\mbox{или}~(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}=c+d.$
Кроме того, $(y-x)^{2}=d^{2}-c^{2}$.
После упрощения получим линейную систему относительно $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$:
$\begin{cases}\sqrt{y}+\sqrt{x}=\sqrt{d+c}\\\sqrt{y}-\sqrt{x}=\sqrt{d-c}. \end{cases}$
Поскольку $x\lt y$, то
$\sqrt{x}=\frac{\sqrt{d+c}-\sqrt{d-c}}{2},~\sqrt{y}=\frac{\sqrt{d+c}+\sqrt{d-c}}{2}.$
Следовательно,
$x=\frac{d-\sqrt{d^{2}-c^{2}}}{2},~y=\frac{d+\sqrt{d^{2}-c^{2}}}{2}.$
