Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4184
2019-07-18 
На боковых сторонах $PQ$ и $ST$ равнобедренной трапеции $PQST$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$ так, что отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции. Известно, что в каждую из трапеций $PMNT$ и $MQSN$ можно вписать окружность. Найдите основания исходной трапеции, если $PQ=c$, $MN=d$ $(c\gt2d)$.
Решение:
Первый способ. При гомотетии с центром в точке пересечения прямых $PQ$ и $ST$, переводящей окружность, вписанную в трапецию $PMNT$, в окружность, вписанную в трапецию $MQSN$, первая трапеция переходит во вторую (рис.1). Значит, трапеции $PMNT$ и $MQSN$ подобны. Обозначим $TP=2x$, $QS=2y$. Поскольку $\frac{TP}{MN}=\frac{MN}{QS}$, то $xy=\frac{d^{2}}{4}$.
Если $K$ и $L$ - точки касания окружностей со стороной $PQ$, то
$KL=MN=d,~PQ=PK+KL+LQ=x+y+d.$
Отсюда находим, что $x+y=c-d$. Следовательно, $x$ и $y$ - корни квадратного уравнения
$t^{2}-(c-d)t+\frac{d^{2}}{4}=0.$
Второй способ. Обозначим $TP=2x$, $QS=2y$ (рис.2). Пусть $K$ и $L$ - точки касания указанных окружностей со стороной $PQ$ ($K$ между $M$ и $P$), $A$ - точка касания окружностей. Тогда
$QL=y,~KM=MA=ML=\frac{d}{2},~PK=x.$
Если $r$ и $R$ - радиусы окружностей, то
$r^{2}=\frac{xd}{2},~R^{2}=\frac{yd}{2},~d=KL=2\sqrt{rR}$.
Поэтому $xy=\frac{d^{2}}{4}$. Кроме того,
$c=QL+KL+KP=y+d+x,$
т.е. $x+y=c-d$. Следовательно, $x$ и $y$ - корни квадратного уравнения
$t^{2}-(c-d)t+\frac{d^{2}}{4}=0.$
На боковых сторонах $PQ$ и $ST$ равнобедренной трапеции $PQST$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$ так, что отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции. Известно, что в каждую из трапеций $PMNT$ и $MQSN$ можно вписать окружность. Найдите основания исходной трапеции, если $PQ=c$, $MN=d$ $(c\gt2d)$.
Решение:
Первый способ. При гомотетии с центром в точке пересечения прямых $PQ$ и $ST$, переводящей окружность, вписанную в трапецию $PMNT$, в окружность, вписанную в трапецию $MQSN$, первая трапеция переходит во вторую (рис.1). Значит, трапеции $PMNT$ и $MQSN$ подобны. Обозначим $TP=2x$, $QS=2y$. Поскольку $\frac{TP}{MN}=\frac{MN}{QS}$, то $xy=\frac{d^{2}}{4}$.
Если $K$ и $L$ - точки касания окружностей со стороной $PQ$, то
$KL=MN=d,~PQ=PK+KL+LQ=x+y+d.$
Отсюда находим, что $x+y=c-d$. Следовательно, $x$ и $y$ - корни квадратного уравнения
$t^{2}-(c-d)t+\frac{d^{2}}{4}=0.$
Второй способ. Обозначим $TP=2x$, $QS=2y$ (рис.2). Пусть $K$ и $L$ - точки касания указанных окружностей со стороной $PQ$ ($K$ между $M$ и $P$), $A$ - точка касания окружностей. Тогда
$QL=y,~KM=MA=ML=\frac{d}{2},~PK=x.$
Если $r$ и $R$ - радиусы окружностей, то
$r^{2}=\frac{xd}{2},~R^{2}=\frac{yd}{2},~d=KL=2\sqrt{rR}$.
Поэтому $xy=\frac{d^{2}}{4}$. Кроме того,
$c=QL+KL+KP=y+d+x,$
т.е. $x+y=c-d$. Следовательно, $x$ и $y$ - корни квадратного уравнения
$t^{2}-(c-d)t+\frac{d^{2}}{4}=0.$
