Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4180
2019-07-18 
С помощью циркуля и линейки постройте общие касательные к двум данным окружностям.
Решение:
Первый способ. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей радиусов $R$ и $r$ ($R\gt r$). Предположим, что некоторая прямая касается окружностей в точках $A$ и $B$ соответственно (рис.1), причём эти точки лежат по одну сторону от прямой $O_{1}O_{2}$. Опустим перпендикуляр $O_{2}H$ из центра меньшей окружности на радиус $O_{1}A$ большей окружности, проведённый в точку касания. Тогда $O_{1}ABO_{2}$ - прямоугольник. В прямоугольном треугольнике $O_{1}HO_{2}$ известны катет $O_{1}H=R-r$ и гипотенуза $O_{1}O_{2}$.
Отсюда вытекает следующее построение. Прямоугольный треугольник $O_{1}HO_{2}$ строим по катету $R-r$ и гипотенузе $O_{1}O_{2}$. Пересечение продолжения катета $O_{1}H$ за точку $H$ с большей окружностью есть искомая точка касания $A$. Через точку $A$ проводим прямую, перпендикулярную $O_{1}A$, и опускаем на неё перпендикуляр $O_{2}B$ из точки $O_{2}$.
Поскольку $O_{1}ABO_{2}$ - прямоугольник, то
$O_{2}B=AH=O_{1}A-O_{1}H=R-(R-r)=r.$
Значит, точка $B$ лежит на окружности с центром $O_{2}$, а т.к. $O_{2}B\perp AB$, то прямая $AB$ - касательная и к этой окружности.
Поскольку возможны ровно два положения точки $H$ относительно прямой $O_{1}O_{2}$, то задача имеет два решения.
Построение в случае, когда $R=r$, очевидно.
Построение общих внутренних касательных аналогично изложенному (рис.2). Оно отличается лишь тем, что прямоугольный треугольник $O_{1}HO_{2}$ строится по гипотенузе $O_{1}O_{2}$ и катету $R+r$ (а не $R-r$).
Ясно, что построение общих внутренних касательных возможно лишь в случае, когда расстояние между центрами окружностей не меньше суммы радиусов. Если $O_{1}O_{2}=r+R$, то общая внутренняя касательная единственна (в этом случае окружности касаются внешним образом).
Второй способ. Пусть $R\gt r$. Найдём центр гомотетии данных окружностей. Для этого проведём произвольный радиус $O_{1}M_{1}$ первой окружности и параллельный ему радиус $O_{2}M_{2}$ второй окружности. При этом точки $M_{1}$ и $M_{2}$ могут лежать либо по одну сторону от прямой $O_{1}O_{2}$ (рис.3), либо - по разные (рис.4).
В каждом из этих случаев искомый центр $Q$ гомотетии есть точка пересечения прямых $M_{1}M_{2}$ и $O_{1}O_{2}$ (в первом случае коэффициент гомотетии равен $\frac{R}{r}$, во втором - ($-\frac{R}{r}$).
Поскольку при гомотетии касательная переходит в касательную (прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью), то достаточно провести из точки $Q$ касательную к одной из окружностей. Ясно, что она будет касательной и ко второй.
С помощью циркуля и линейки постройте общие касательные к двум данным окружностям.
Решение:
Первый способ. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей радиусов $R$ и $r$ ($R\gt r$). Предположим, что некоторая прямая касается окружностей в точках $A$ и $B$ соответственно (рис.1), причём эти точки лежат по одну сторону от прямой $O_{1}O_{2}$. Опустим перпендикуляр $O_{2}H$ из центра меньшей окружности на радиус $O_{1}A$ большей окружности, проведённый в точку касания. Тогда $O_{1}ABO_{2}$ - прямоугольник. В прямоугольном треугольнике $O_{1}HO_{2}$ известны катет $O_{1}H=R-r$ и гипотенуза $O_{1}O_{2}$.
Отсюда вытекает следующее построение. Прямоугольный треугольник $O_{1}HO_{2}$ строим по катету $R-r$ и гипотенузе $O_{1}O_{2}$. Пересечение продолжения катета $O_{1}H$ за точку $H$ с большей окружностью есть искомая точка касания $A$. Через точку $A$ проводим прямую, перпендикулярную $O_{1}A$, и опускаем на неё перпендикуляр $O_{2}B$ из точки $O_{2}$.
Поскольку $O_{1}ABO_{2}$ - прямоугольник, то
$O_{2}B=AH=O_{1}A-O_{1}H=R-(R-r)=r.$
Значит, точка $B$ лежит на окружности с центром $O_{2}$, а т.к. $O_{2}B\perp AB$, то прямая $AB$ - касательная и к этой окружности.
Поскольку возможны ровно два положения точки $H$ относительно прямой $O_{1}O_{2}$, то задача имеет два решения.
Построение в случае, когда $R=r$, очевидно.
Построение общих внутренних касательных аналогично изложенному (рис.2). Оно отличается лишь тем, что прямоугольный треугольник $O_{1}HO_{2}$ строится по гипотенузе $O_{1}O_{2}$ и катету $R+r$ (а не $R-r$).
Ясно, что построение общих внутренних касательных возможно лишь в случае, когда расстояние между центрами окружностей не меньше суммы радиусов. Если $O_{1}O_{2}=r+R$, то общая внутренняя касательная единственна (в этом случае окружности касаются внешним образом).
Второй способ. Пусть $R\gt r$. Найдём центр гомотетии данных окружностей. Для этого проведём произвольный радиус $O_{1}M_{1}$ первой окружности и параллельный ему радиус $O_{2}M_{2}$ второй окружности. При этом точки $M_{1}$ и $M_{2}$ могут лежать либо по одну сторону от прямой $O_{1}O_{2}$ (рис.3), либо - по разные (рис.4).
В каждом из этих случаев искомый центр $Q$ гомотетии есть точка пересечения прямых $M_{1}M_{2}$ и $O_{1}O_{2}$ (в первом случае коэффициент гомотетии равен $\frac{R}{r}$, во втором - ($-\frac{R}{r}$).
Поскольку при гомотетии касательная переходит в касательную (прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью), то достаточно провести из точки $Q$ касательную к одной из окружностей. Ясно, что она будет касательной и ко второй.
