Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4179
2019-07-18 
Даны окружности радиусов $r$ и $R$ ($R\gt r$). Расстояние между их центрами равно $a$ ($a\gt R+r$). Найдите отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключённые между точками касания.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей радиусов $r$ и $R$, $A$ и $B$ - соответственные точки касания окружностей с общей внешней касательной, $C$ и $D$ - с общей внутренней.
Пусть $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{1}$ на $O_{2}B$. Из прямоугольного треугольника $O_{1}PO_{2}$ находим, что
$O_{1}P=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}P^{2}}=\sqrt{a^{2}-(R-r)^{2}}.$
Пусть $Q$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{1}$ на продолжение $O_{2}D$. Из прямоугольного треугольника $O_{1}QO_{2}$ находим, что
$O_{1}Q=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}Q^{2}}=\sqrt{a^{2}-(R+r)^{2}}.$
Следовательно,
$AB=O_{1}P=\sqrt{a^{2}-(R-r)^{2}},~CD=O_{1}Q=\sqrt{a^{2}-(R+r)^{2}}.$
Даны окружности радиусов $r$ и $R$ ($R\gt r$). Расстояние между их центрами равно $a$ ($a\gt R+r$). Найдите отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключённые между точками касания.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей радиусов $r$ и $R$, $A$ и $B$ - соответственные точки касания окружностей с общей внешней касательной, $C$ и $D$ - с общей внутренней.
Пусть $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{1}$ на $O_{2}B$. Из прямоугольного треугольника $O_{1}PO_{2}$ находим, что
$O_{1}P=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}P^{2}}=\sqrt{a^{2}-(R-r)^{2}}.$
Пусть $Q$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{1}$ на продолжение $O_{2}D$. Из прямоугольного треугольника $O_{1}QO_{2}$ находим, что
$O_{1}Q=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}Q^{2}}=\sqrt{a^{2}-(R+r)^{2}}.$
Следовательно,
$AB=O_{1}P=\sqrt{a^{2}-(R-r)^{2}},~CD=O_{1}Q=\sqrt{a^{2}-(R+r)^{2}}.$
