Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4174
2019-07-18 
Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.
Решение:
Пусть $C$, $B$ и $A$ - центры окружностей радиусов 1, 2 и 3 соответственно (рис.1). Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, значит, точки $M$, $N$ и $K$ касания окружностей лежат на сторонах треугольника $ABC$. Пусть точка $K$ лежит на отрезке $AC$, точка $M$ - на отрезке $AB$, точка $N$ - на отрезке $BC$. Тогда
$AB=AM+MB=3+2=5,~AC=AK+KC=3+1=4,~BC=BN+NC=2+1=3.$
Треугольник $ABC$ - прямоугольный, т.к. $AC^{2}+BC^{2}=16+9=25=AB^{2}$, значит, радиус его вписанной окружности равен $\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$.
Докажем, что окружность, проходящая через точки $K$, $M$, $N$, и есть вписанная окружность треугольника $ABC$. Действительно, если вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AB$ в точке $M_{1}$ (рис.2), то $AM_{1}=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{5+4-3}{2}=3=AM$, значит, точка $M_{1}$ совпадает с точкой $M$. Аналогично докажем, что вписанная окружность треугольника $ABC$ касается его сторон $AC$ и $BC$ соответственно в точках $K$ и $N$.
Таким образом, радиус окружности, проходящей через точки касания данных окружностей, равен 1.
Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.
Решение:
Пусть $C$, $B$ и $A$ - центры окружностей радиусов 1, 2 и 3 соответственно (рис.1). Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, значит, точки $M$, $N$ и $K$ касания окружностей лежат на сторонах треугольника $ABC$. Пусть точка $K$ лежит на отрезке $AC$, точка $M$ - на отрезке $AB$, точка $N$ - на отрезке $BC$. Тогда
$AB=AM+MB=3+2=5,~AC=AK+KC=3+1=4,~BC=BN+NC=2+1=3.$
Треугольник $ABC$ - прямоугольный, т.к. $AC^{2}+BC^{2}=16+9=25=AB^{2}$, значит, радиус его вписанной окружности равен $\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$.
Докажем, что окружность, проходящая через точки $K$, $M$, $N$, и есть вписанная окружность треугольника $ABC$. Действительно, если вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AB$ в точке $M_{1}$ (рис.2), то $AM_{1}=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{5+4-3}{2}=3=AM$, значит, точка $M_{1}$ совпадает с точкой $M$. Аналогично докажем, что вписанная окружность треугольника $ABC$ касается его сторон $AC$ и $BC$ соответственно в точках $K$ и $N$.
Таким образом, радиус окружности, проходящей через точки касания данных окружностей, равен 1.
