Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4170
2019-07-18 
Две окружности радиусов $R$ и $r$ касаются сторон данного угла и друг друга. Найдите радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, и центр которой находится в точке касания двух данных окружностей между собой.
Решение:
Пусть окружности радиусов $r$ и $R$ касаются одной из сторон угла в точках $A$ и $B$ соответственно, а искомая окружность с центром $K$ касается этой стороны в точке $C$. Опустим перпендикуляр $O_{1}F$ из центра первой окружности на радиус $O_{2}B$ второй окружности. Пусть $L$ - точка его пересечения с отрезком $O_{1}F$. Тогда прямоугольные треугольники $O_{1}LK$ и $O_{1}FO_{2}$ подобны с коэффициентом $\frac{O_{1}K}{O_{1}O_{2}}=\frac{r}{R+r}$, следовательно,
$KL=O_{2}F\cdot\frac{r}{R+r}=(R-r)\cdot\frac{r}{r+R}=\frac{r(R-r)}{R+r},$
$KC=KL+LC=KL+O_{1}A=\frac{r(R-r)}{R+r}+r=\frac{2rR}{r+R}.$
Две окружности радиусов $R$ и $r$ касаются сторон данного угла и друг друга. Найдите радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, и центр которой находится в точке касания двух данных окружностей между собой.
Решение:
Пусть окружности радиусов $r$ и $R$ касаются одной из сторон угла в точках $A$ и $B$ соответственно, а искомая окружность с центром $K$ касается этой стороны в точке $C$. Опустим перпендикуляр $O_{1}F$ из центра первой окружности на радиус $O_{2}B$ второй окружности. Пусть $L$ - точка его пересечения с отрезком $O_{1}F$. Тогда прямоугольные треугольники $O_{1}LK$ и $O_{1}FO_{2}$ подобны с коэффициентом $\frac{O_{1}K}{O_{1}O_{2}}=\frac{r}{R+r}$, следовательно,
$KL=O_{2}F\cdot\frac{r}{R+r}=(R-r)\cdot\frac{r}{r+R}=\frac{r(R-r)}{R+r},$
$KC=KL+LC=KL+O_{1}A=\frac{r(R-r)}{R+r}+r=\frac{2rR}{r+R}.$
