ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что комплексные числа $a$ и $b$ удовлетворяют условию $a^{2} = 2b \neq 0$ тогда и только тогда, когда корни многочлена $x^{2} + ax + b$ образуют на комплексной плоскости две вершины равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого вершина прямого угла расположена в начале координат.


Решение:


Пусть $x_{1}, x_{2}$ - корни многочлена $x^{2} + ax + b$. Точки $x_{1}, x_{2}, 0$ образуют вершины требуемого в задаче треугольника тогда и только тогда, когда $x_{1} \neq 0$ и число $x_{2}/x_{1}$ равно либо $i$, либо $-i$ (так как модули чисел $x_{1}$ и $x_{2}$ совпадают, а их аргументы отличаются на величину $\frac{\pi}{2} + 2 \pi n$ для некоторого числа $n \in \mathbf{Z}$). Это означает, что либо $x_{2} = ix_{1}$, либо $x_{1} = ix_{2}$, т. е. корни исходного уравнения имеют вид $x_{0}, ix_{0}$, причем хо $x_{0} \neq 0$. Согласно теореме Виета последние условия эквивалентны системе
$\begin{cases} (1+i)x_{0} = - a,& \\
ix_{0}^{2} = b,& \\
x_{0} \neq 0,&
\end{cases}$
которая совместна тогда и только тогда, когда $a^{2} = 2b \neq 0$ (так как $2(ix_{0}^{2}) = ((1 + i)x_{0})^{2})$.