Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4168
2019-07-18 
В параллелограмме лежат две окружности. Одна из них, радиуса 3, вписана в параллелограмм, а вторая касается двух сторон параллелограмма и первой окружности. Расстояние между точками касания, лежащими на одной стороне параллелограмма, равно 3. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:
Поскольку в данный параллелограмм $ABCD$ вписана окружность, то он - ромб.
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры данных окружностей, $R$ и $r$ - их радиусы ($R=3$), $M_{1}$ и $M_{2}$ - точки касания окружностей со стороной $AB$ ($M_{2}$ между $M_{1}$ и $A$). Поскольку $M_{1}M_{2}=2\sqrt{Rr}=3$, то $r=\frac{3}{4}$.
Пусть $K$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{2}$ на $O_{1}M_{1}$. Из подобия треугольников $AM_{2}O_{2}$ и $O_{2}KO_{1}$ находим, что $AM_{2}=1$. Поэтому
$AM_{1}=AM_{2}+M_{2}M_{1}=1+3=4.$
Поскольку $\angle AO_{1}B=90^{\circ}$, то $O_{1}M^{2}_{1}=BM_{1}\cdot AM_{1}$. Отсюда находим, что,
$BM_{1}=\frac{9}{4},~AB=\frac{25}{4}.$
Следовательно, $S_{ABCD}=\frac{75}{2}$.
В параллелограмме лежат две окружности. Одна из них, радиуса 3, вписана в параллелограмм, а вторая касается двух сторон параллелограмма и первой окружности. Расстояние между точками касания, лежащими на одной стороне параллелограмма, равно 3. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:
Поскольку в данный параллелограмм $ABCD$ вписана окружность, то он - ромб.
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры данных окружностей, $R$ и $r$ - их радиусы ($R=3$), $M_{1}$ и $M_{2}$ - точки касания окружностей со стороной $AB$ ($M_{2}$ между $M_{1}$ и $A$). Поскольку $M_{1}M_{2}=2\sqrt{Rr}=3$, то $r=\frac{3}{4}$.
Пусть $K$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{2}$ на $O_{1}M_{1}$. Из подобия треугольников $AM_{2}O_{2}$ и $O_{2}KO_{1}$ находим, что $AM_{2}=1$. Поэтому
$AM_{1}=AM_{2}+M_{2}M_{1}=1+3=4.$
Поскольку $\angle AO_{1}B=90^{\circ}$, то $O_{1}M^{2}_{1}=BM_{1}\cdot AM_{1}$. Отсюда находим, что,
$BM_{1}=\frac{9}{4},~AB=\frac{25}{4}.$
Следовательно, $S_{ABCD}=\frac{75}{2}$.
