Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4164
2019-07-18 
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке $A$. Найдите радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку $A$ с точками касания с одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8.
Решение:
Первый способ. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, $B$ и $C$ - указанные точки касания ($AB=6$, $AC=8$). Поскольку треугольник $BAC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A$, то $BC=10$.
Пусть $M$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{2}$ на $AC$. Из подобия треугольников $O_{2}MC$ и $CAB$ находим, что
$O_{2}C=BC\cdot\frac{CM}{AB}=10\cdot\frac{4}{6}=\frac{20}{3}.$
Аналогично находим, что $O_{1}B=\frac{15}{4}$.
Второй способ. Продолжим хорду $AB$ первой окружности до пересечения со второй в точке $D$. Поскольку $\angle CAD=\angle CAB=90^{\circ}$ (см. задачу @H365), отрезок $CD$ - диаметр второй окружности. Значит, $CD\perp BC$. Отрезок $AC=8$ - высота прямоугольного треугольника $BCD$, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
$AD=\frac{AC^{2}}{AB}=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}.$
Пусть $R$ - искомый радиус второй окружности. Тогда
$4R^{2}=CD^{2}=BD\cdot AD=(AB+AD)AD=\left(6+\frac{32}{3}\right)\cdot\frac{32}{3}=\frac{50}{3}\cdot\frac{32}{3}=\frac{25\cdot64}{9},$
откуда $2R=\frac{40}{3}$. Следовательно, $R=\frac{20}{3}$. Аналогично находим, что радиус второй окружности равен $\frac{15}{4}$.
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке $A$. Найдите радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку $A$ с точками касания с одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8.
Решение:
Первый способ. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, $B$ и $C$ - указанные точки касания ($AB=6$, $AC=8$). Поскольку треугольник $BAC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A$, то $BC=10$.
Пусть $M$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{2}$ на $AC$. Из подобия треугольников $O_{2}MC$ и $CAB$ находим, что
$O_{2}C=BC\cdot\frac{CM}{AB}=10\cdot\frac{4}{6}=\frac{20}{3}.$
Аналогично находим, что $O_{1}B=\frac{15}{4}$.
Второй способ. Продолжим хорду $AB$ первой окружности до пересечения со второй в точке $D$. Поскольку $\angle CAD=\angle CAB=90^{\circ}$ (см. задачу @H365), отрезок $CD$ - диаметр второй окружности. Значит, $CD\perp BC$. Отрезок $AC=8$ - высота прямоугольного треугольника $BCD$, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
$AD=\frac{AC^{2}}{AB}=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}.$
Пусть $R$ - искомый радиус второй окружности. Тогда
$4R^{2}=CD^{2}=BD\cdot AD=(AB+AD)AD=\left(6+\frac{32}{3}\right)\cdot\frac{32}{3}=\frac{50}{3}\cdot\frac{32}{3}=\frac{25\cdot64}{9},$
откуда $2R=\frac{40}{3}$. Следовательно, $R=\frac{20}{3}$. Аналогично находим, что радиус второй окружности равен $\frac{15}{4}$.
