Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4161
2019-07-18 
Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке $A$. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку $A$, пересекается с другой их общей касательной в точке $B$. Найдите радиус второй окружности, если $AB=4$.
Решение:
Первый способ. Пусть $r$ и $R$ - радиусы окружностей ($r=2$), $C$ и $D$ - точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда
$BC=AB=BD=4,~CD=8,$
а т.к. $CD=2\sqrt{rR}$, то $\sqrt{2R}=4$. Отсюда находим, что $R=8$.
Второй способ. Если $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, то $\angle O_{1}BO_{2}=90^{\circ}$ как угол между биссектрисами смежных углов. Тогда $BA$ - высота прямоугольного треугольника $O_{1}BO_{2}$, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $O_{1}O_{2}$. Следовательно,
$O_{1}A\cdot O_{2}A=AB^{2}=16.$
Отсюда находим, что $O_{2}A=8$.
Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке $A$. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку $A$, пересекается с другой их общей касательной в точке $B$. Найдите радиус второй окружности, если $AB=4$.
Решение:
Первый способ. Пусть $r$ и $R$ - радиусы окружностей ($r=2$), $C$ и $D$ - точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда
$BC=AB=BD=4,~CD=8,$
а т.к. $CD=2\sqrt{rR}$, то $\sqrt{2R}=4$. Отсюда находим, что $R=8$.
Второй способ. Если $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, то $\angle O_{1}BO_{2}=90^{\circ}$ как угол между биссектрисами смежных углов. Тогда $BA$ - высота прямоугольного треугольника $O_{1}BO_{2}$, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $O_{1}O_{2}$. Следовательно,
$O_{1}A\cdot O_{2}A=AB^{2}=16.$
Отсюда находим, что $O_{2}A=8$.
