Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4160
2019-07-18 
Точки $M$ и $N$ принадлежат боковым сторонам соответственно $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$, причём $MN$ параллельно $BC$, а в трапецию $BMNC$ можно вписать окружность. Её радиус равен $R$, а радиус окружности, вписанной в треугольник $AMN$, равен $r$. Найдите:
а) основание $BC$;
б) расстояние от точки $A$ до ближайшей точки касания;
в) расстояние между хордами окружностей, соединяющими точки касания с боковыми сторонами трапеции $BMNC$.
Решение:
а) Треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AMN$ с коэффициентом $\frac{R}{r}$. Следовательно (см. задачу @H365),
$BC=\frac{R}{r}\cdot MN=\frac{R}{r}\cdot2\sqrt{rR}=\frac{2R\sqrt{rR}}{r}.$
б) Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры меньшей и большей окружностей соответственно; $Q$ - точка касания большей окружности с $AB$, $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{1}$ на $O_{2}Q$, $K$ - точка касания меньшей окружности с $AB$. Тогда
$O_{2}P=O_{2}Q-PQ=O_{2}Q-O_{1}K=R-r.$
Треугольники $AKO_{1}$ и $O_{1}PO_{2}$ подобны с коэффициентом $\frac{O_{1}K}{O_{2}P}=\frac{r}{R-r}$. Следовательно,
$AK=\frac{r}{R-r}\cdot O_{1}P=\frac{r}{R-r}\cdot KQ=\frac{2r\sqrt{rR}}{R-r}.$
в) Пусть $F$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на хорду $QS$, соединяющую точки касания большей окружности со сторонами $AB$ и $AC$. Из подобия треугольников $KFQ$ и $O_{1}PO_{2}$ находим, что
$KF=\frac{KQ}{O_{1}O_{2}}\cdot O_{1}P=\frac{2\sqrt{rR}}{R+r}\cdot2\sqrt{rR}=\frac{4rR}{R+r}.$
Точки $M$ и $N$ принадлежат боковым сторонам соответственно $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$, причём $MN$ параллельно $BC$, а в трапецию $BMNC$ можно вписать окружность. Её радиус равен $R$, а радиус окружности, вписанной в треугольник $AMN$, равен $r$. Найдите:
а) основание $BC$;
б) расстояние от точки $A$ до ближайшей точки касания;
в) расстояние между хордами окружностей, соединяющими точки касания с боковыми сторонами трапеции $BMNC$.
Решение:
а) Треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AMN$ с коэффициентом $\frac{R}{r}$. Следовательно (см. задачу @H365),
$BC=\frac{R}{r}\cdot MN=\frac{R}{r}\cdot2\sqrt{rR}=\frac{2R\sqrt{rR}}{r}.$
б) Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры меньшей и большей окружностей соответственно; $Q$ - точка касания большей окружности с $AB$, $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из $O_{1}$ на $O_{2}Q$, $K$ - точка касания меньшей окружности с $AB$. Тогда
$O_{2}P=O_{2}Q-PQ=O_{2}Q-O_{1}K=R-r.$
Треугольники $AKO_{1}$ и $O_{1}PO_{2}$ подобны с коэффициентом $\frac{O_{1}K}{O_{2}P}=\frac{r}{R-r}$. Следовательно,
$AK=\frac{r}{R-r}\cdot O_{1}P=\frac{r}{R-r}\cdot KQ=\frac{2r\sqrt{rR}}{R-r}.$
в) Пусть $F$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на хорду $QS$, соединяющую точки касания большей окружности со сторонами $AB$ и $AC$. Из подобия треугольников $KFQ$ и $O_{1}PO_{2}$ находим, что
$KF=\frac{KQ}{O_{1}O_{2}}\cdot O_{1}P=\frac{2\sqrt{rR}}{R+r}\cdot2\sqrt{rR}=\frac{4rR}{R+r}.$
