ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Числа $a, b, c$ являются тремя из четырех корней многочлена $x^{4} – ax^{3} – bx + c$. Найти все такие тройки чисел $a, b, c$.


Решение:


Предположим, что $c = 0$. Тогда число с является корнем уравнения $x^{4} – ax^{3} – bx = 0$, следовательно, отстаетcя найти все многочлены вида $x^{3} – ax^{2} – b$, для которых числа оно являются корнями. Если обозначить через $d$ третий корень такого многочлена, то по теореме Виета будем иметь $a + b + d =a$, т. е. $d = -b$, далее, $ab +
+ ad + bd = ab - b(a + b) = - b^{2} = 0$, т. е. $b = 0$. Наконец, замечаем, что любая тройка чисел вида $(a; 0; 0)$ удовлетворяет условию задачи. Теперь предположим, что $c \neq 0$. Тогда ни один из четырех корней $a, b, c, d$ многочлена $x^{4} – ax^{3} = bx + c$ не равен нулю. По теореме Виета имеем $a + b + c + d = a$, т. е. $d = - (b + c)$, далее,
$ab + ac + bc + ad + bd + cd = ab + ac + bc – (a+b+c)(b+c) = -b^{2} – bc – c^{2} = 0$,
$abc + abd + acd + bcd = abc – (ab + ac + bc)(b+c) = -a(b^{2}+bc+c^{2}) – b^{2}c – bc^{2} = -bc(b+c)=b$,
т.е.
$b^{2} = -c(b + c) = 1, c^{2} + bc + 1 = 0$,
наконец,
$abcd = - abc (b + c) = ab = c$,
т. е. $a = c/b$. Поэтому возможны лишь четыре набора чисел $a, b, c$:
$b_{1,2} = 1, c_{1,2} = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}, a_{1,2} = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}$;
$b_{3,4} = 1, c_{3,4} = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}, a_{3,4} = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}$,
каждый из которых удовлетворяет условию задачи. Таким образом, тройка $(a; b; c)$ либо имеет вид $(a; 0; 0)$, где $a$ - любое комплексное число, либо совпадает с одной из троек:
$\left ( \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2};1; \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} \right ), \left ( \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2};1; \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right )$,
$\left ( \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2};-1; \frac{1 + i \sqrt{3}}{2} \right ), \left ( \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2};-1; \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right )$.