Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4159
2019-07-18 
Окружности радиусов $r$ и $R$ $(R\gt r)$ касаются внешним образом в точке $K$. К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью - $A$ и $D$, с большей - $B$ и $C$ соответственно.
а) Найдите $AB$ и отрезок $MN$ общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.
б) Докажите, что углы $AKB$ и $O_{1}MO_{2}$ - прямые ($O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей).
Решение:
а) Опустим перпендикуляр $O_{1}P$ из центра $O_{1}$ на $O_{2}B$. Из прямоугольного треугольника $O_{1}PO_{2}$ находим, что
$O_{1}O_{2}=r+R,~O_{2}P=R-r,~O_{1}P=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}P^{2}}=2\sqrt{rR}.$
Поэтому $AB=O_{1}P=2\sqrt{rR}$.
Поскольку $MK=MB$ и $MK=MA$, то
$NM=2MK=AB=2\sqrt{rR}.$
б) Поскольку $MO_{1}$ и $MO_{2}$ - биссектрисы смежных углов $AMK$ и $BMK$, то угол $O_{1}MO_{2}$ - прямой.
Поскольку $MA=MK=MB$, то точка $K$ лежит на окружности с диаметром $AB$. Поэтому $\angle AKB=90^{\circ}$.
Окружности радиусов $r$ и $R$ $(R\gt r)$ касаются внешним образом в точке $K$. К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью - $A$ и $D$, с большей - $B$ и $C$ соответственно.
а) Найдите $AB$ и отрезок $MN$ общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.
б) Докажите, что углы $AKB$ и $O_{1}MO_{2}$ - прямые ($O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей).
Решение:
а) Опустим перпендикуляр $O_{1}P$ из центра $O_{1}$ на $O_{2}B$. Из прямоугольного треугольника $O_{1}PO_{2}$ находим, что
$O_{1}O_{2}=r+R,~O_{2}P=R-r,~O_{1}P=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}P^{2}}=2\sqrt{rR}.$
Поэтому $AB=O_{1}P=2\sqrt{rR}$.
Поскольку $MK=MB$ и $MK=MA$, то
$NM=2MK=AB=2\sqrt{rR}.$
б) Поскольку $MO_{1}$ и $MO_{2}$ - биссектрисы смежных углов $AMK$ и $BMK$, то угол $O_{1}MO_{2}$ - прямой.
Поскольку $MA=MK=MB$, то точка $K$ лежит на окружности с диаметром $AB$. Поэтому $\angle AKB=90^{\circ}$.
