Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4158
2019-07-18 
Докажите, что в выпуклый четырёхугольник, суммы противоположных сторон которого равны между собой, можно вписать окружность.
Решение:
Первый способ. Пусть $AB+CD=BC+AD$. Тогда $AB-AD=BC-CD$.
а) Если $AB=AD$ (рис.1), то $BC=CD$. Поэтому треугольники $ABC$ и $ADC$ равны по трём сторонам, значит, диагональ $AC$ делит пополам углы $BAD$ и $BCD$. Из равенства треугольников $ABC$ и $ADC$ и их соответствующих углов $ABC$ и $ADC$ следует, что биссектрисы этих углов пересекаются в некоторой точке $O$, лежащей на диагонали $AC$. Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе каждого из углов четырёхугольника, то она равноудалена от всех его сторон. Следовательно, $O$ - центр окружности, вписанной в четырёхугольник $ABCD$.
б) Пусть теперь $AB\gt AD$ (рис.2). Тогда $BC\gt CD$.
На отрезке $AB$ возьмём такую точку $T$, для которой $AT=AD$, а на отрезке $BC$ - такую точку $S$, для которой $CS=CD$. Поскольку
$AT=AD,~CS=CD,~BT=AB-AT=AB-AD=BC-CD=BC-CS=BS,$
то треугольники $TBS$, $ADT$ и $CDS$ - равнобедренные. Биссектрисы их углов при вершинах $B$, $A$ и $C$ являются серединными перпендикулярами к отрезкам $TS$, $DT$ и $DS$ соответственно, т.е. серединными перпендикулярами к сторонам треугольника $DTS$. Поэтому биссектрисы углов $B$, $A$ и $C$ пересекаются в одной точке - центре описанной окружности треугольника $DTS$. Эта точка равноудалена от всех сторон четырёхугольника $ABCD$. Следовательно, она является центром вписанной окружности четырёхугольника $ABCD$.
Аналогично для $AB\lt AD$.
Второй способ. Пусть $AB+CD=BC+AD$ и прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$ (рис.3). Впишем окружность в треугольник $AMB$. Пусть она полностью содержится в четырёхугольнике $ABCD$. Докажем, что она касается $BC$.
Если это не так, то проведём через точку $B$ касательную к окружности, пересекающую $CD$ в точке $C_{1}$. Тогда
$AB+CD=BC+AD~\mbox{и}~AB+C_{1}D=BC_{1}+AD.$
Вычитая почленно эти равенства, получим:
$CC_{1}+BC_{1}=BC,$
что противоречит неравенству треугольника.
Аналогично рассматриваются остальные случаи.
Докажите, что в выпуклый четырёхугольник, суммы противоположных сторон которого равны между собой, можно вписать окружность.
Решение:
Первый способ. Пусть $AB+CD=BC+AD$. Тогда $AB-AD=BC-CD$.
а) Если $AB=AD$ (рис.1), то $BC=CD$. Поэтому треугольники $ABC$ и $ADC$ равны по трём сторонам, значит, диагональ $AC$ делит пополам углы $BAD$ и $BCD$. Из равенства треугольников $ABC$ и $ADC$ и их соответствующих углов $ABC$ и $ADC$ следует, что биссектрисы этих углов пересекаются в некоторой точке $O$, лежащей на диагонали $AC$. Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе каждого из углов четырёхугольника, то она равноудалена от всех его сторон. Следовательно, $O$ - центр окружности, вписанной в четырёхугольник $ABCD$.
б) Пусть теперь $AB\gt AD$ (рис.2). Тогда $BC\gt CD$.
На отрезке $AB$ возьмём такую точку $T$, для которой $AT=AD$, а на отрезке $BC$ - такую точку $S$, для которой $CS=CD$. Поскольку
$AT=AD,~CS=CD,~BT=AB-AT=AB-AD=BC-CD=BC-CS=BS,$
то треугольники $TBS$, $ADT$ и $CDS$ - равнобедренные. Биссектрисы их углов при вершинах $B$, $A$ и $C$ являются серединными перпендикулярами к отрезкам $TS$, $DT$ и $DS$ соответственно, т.е. серединными перпендикулярами к сторонам треугольника $DTS$. Поэтому биссектрисы углов $B$, $A$ и $C$ пересекаются в одной точке - центре описанной окружности треугольника $DTS$. Эта точка равноудалена от всех сторон четырёхугольника $ABCD$. Следовательно, она является центром вписанной окружности четырёхугольника $ABCD$.
Аналогично для $AB\lt AD$.
Второй способ. Пусть $AB+CD=BC+AD$ и прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$ (рис.3). Впишем окружность в треугольник $AMB$. Пусть она полностью содержится в четырёхугольнике $ABCD$. Докажем, что она касается $BC$.
Если это не так, то проведём через точку $B$ касательную к окружности, пересекающую $CD$ в точке $C_{1}$. Тогда
$AB+CD=BC+AD~\mbox{и}~AB+C_{1}D=BC_{1}+AD.$
Вычитая почленно эти равенства, получим:
$CC_{1}+BC_{1}=BC,$
что противоречит неравенству треугольника.
Аналогично рассматриваются остальные случаи.
