Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4156
2019-07-18 
Дана окружность и точка $A$ вне её; $AB$ и $AC$ - касательные к окружности ($B$ и $C$ - точки касания). Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, лежит на данной окружности.
Решение:
Пусть $M$ - середина меньшей дуги $BC$. Докажем, что $M$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Действительно, $AM$ - биссектриса угла $A$. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
$\angle MBA=\frac{1}{2}\breve{ MB} =\frac{1}{2}\breve{ MC} =\frac{1}{4}\breve{ MBC} =\frac{1}{2}\angle ABC,$
Значит, $BM$ - также биссектриса треугольника $ABC$. Следовательно, $M$ - точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$, т.е. центр его вписанной окружности.
Дана окружность и точка $A$ вне её; $AB$ и $AC$ - касательные к окружности ($B$ и $C$ - точки касания). Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, лежит на данной окружности.
Решение:
Пусть $M$ - середина меньшей дуги $BC$. Докажем, что $M$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Действительно, $AM$ - биссектриса угла $A$. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
$\angle MBA=\frac{1}{2}\breve{ MB} =\frac{1}{2}\breve{ MC} =\frac{1}{4}\breve{ MBC} =\frac{1}{2}\angle ABC,$
Значит, $BM$ - также биссектриса треугольника $ABC$. Следовательно, $M$ - точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$, т.е. центр его вписанной окружности.
