Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4153
2019-07-18 
Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен $120^{\circ}$. Найдите площадь треугольника.
Решение:
Обозначим через $x$ расстояние от вершины угла в $120^{\circ}$ до ближайшей точки касания и применим теорему косинусов. Получим уравнение $x^{2}+7x-4=0$, из которого находим, что $x=\frac{\sqrt{65}-7}{2}$.
Пусть $p$ - полупериметр треугольника, $r$ - радиус вписанной окружности, $S$ - площадь. Тогда
$p=3+4+\frac{\sqrt{65}-7}{2}=\frac{\sqrt{65}+7}{2},~r=xtg60^{\circ}=x\sqrt{3}=\frac{(\sqrt{65}-7)\sqrt{3}}{2}.$
Следовательно,
$S=pr=\frac{\sqrt{65}+7}{2}\cdot\frac{(\sqrt{65}-7)\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$
Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен $120^{\circ}$. Найдите площадь треугольника.
Решение:
Обозначим через $x$ расстояние от вершины угла в $120^{\circ}$ до ближайшей точки касания и применим теорему косинусов. Получим уравнение $x^{2}+7x-4=0$, из которого находим, что $x=\frac{\sqrt{65}-7}{2}$.
Пусть $p$ - полупериметр треугольника, $r$ - радиус вписанной окружности, $S$ - площадь. Тогда
$p=3+4+\frac{\sqrt{65}-7}{2}=\frac{\sqrt{65}+7}{2},~r=xtg60^{\circ}=x\sqrt{3}=\frac{(\sqrt{65}-7)\sqrt{3}}{2}.$
Следовательно,
$S=pr=\frac{\sqrt{65}+7}{2}\cdot\frac{(\sqrt{65}-7)\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$
