Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4151
2019-07-18 
В равносторонний треугольник $ABC$ вписана полуокружность с центром $O$ на стороне $AB$. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны $BC$ и $CA$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а прямая, соединяющая точки касания сторон $BC$ и $AC$ с полуокружностью, пересекает отрезки $OM$ и $ON$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $MN=2PQ$.
Решение:
Пусть $X$ и $Y$ - точки касания полуокружности со сторонами $BC$ и $AC$. Тогда
$\angle NOM=\frac{1}{2}\angle XOY=\frac{1}{2}(180^{\circ}-60^{\circ})=60^{\circ},~\angle CXY=60^{\circ}.$
Поэтому точки $M$, $X$, $O$ и $Q$ лежат на одной окружности, причём $MO$ - диаметр этой окружности. Следовательно, $MQ$ - высота треугольника $MON$. Аналогично докажем, что $NP$ - высота треугольника $MON$. Поэтому треугольник $POQ$ подобен треугольнику $NOM$ с коэффициентом
$\cos\angle NOM=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
. Следовательно,
$MN=\frac{PQ}{\cos60^{\circ}}=2PQ.$
В равносторонний треугольник $ABC$ вписана полуокружность с центром $O$ на стороне $AB$. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны $BC$ и $CA$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а прямая, соединяющая точки касания сторон $BC$ и $AC$ с полуокружностью, пересекает отрезки $OM$ и $ON$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $MN=2PQ$.
Решение:
Пусть $X$ и $Y$ - точки касания полуокружности со сторонами $BC$ и $AC$. Тогда
$\angle NOM=\frac{1}{2}\angle XOY=\frac{1}{2}(180^{\circ}-60^{\circ})=60^{\circ},~\angle CXY=60^{\circ}.$
Поэтому точки $M$, $X$, $O$ и $Q$ лежат на одной окружности, причём $MO$ - диаметр этой окружности. Следовательно, $MQ$ - высота треугольника $MON$. Аналогично докажем, что $NP$ - высота треугольника $MON$. Поэтому треугольник $POQ$ подобен треугольнику $NOM$ с коэффициентом
$\cos\angle NOM=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
. Следовательно,
$MN=\frac{PQ}{\cos60^{\circ}}=2PQ.$
