Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4150
2019-07-18 
Прямые $PA$ и $PB$ касаются окружности с центром $O$ ($A$ и $B$ - точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая прямые $PA$ и $PB$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что величина угла $XOY$ не зависит от выбора третьей касательной.
Решение:
Обозначим $\angle APB=\alpha$. Пусть $M$ - точка касания окружности с прямой $XY$. Тогда
$\angle XOY=\frac{1}{2}\angle AOM+\frac{1}{2}\angle BOM=\frac{1}{2}(\angle AOM+\angle BOM)=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.$
Прямые $PA$ и $PB$ касаются окружности с центром $O$ ($A$ и $B$ - точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая прямые $PA$ и $PB$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что величина угла $XOY$ не зависит от выбора третьей касательной.
Решение:
Обозначим $\angle APB=\alpha$. Пусть $M$ - точка касания окружности с прямой $XY$. Тогда
$\angle XOY=\frac{1}{2}\angle AOM+\frac{1}{2}\angle BOM=\frac{1}{2}(\angle AOM+\angle BOM)=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.$
