Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 415
2014-06-07 
Про целые числа $a, b, c$ известно, что $a > 0$, а многочлен $ax^{2} + bx + c$ имеет два различных корня на интервале (0; 1). Доказать, что $a \geq 5$. Найти хотя бы одну пару чисел $b, c$ при $a = 5$.
Решение:
Поскольку многочлен $P(x) = ax^{2} + bx + c (a > 0)$ имеет два различных корня $0 < x_{1} < x_{2} < 1$, то $b^{2} > 4ac$ и в силу теоремы Виета $0 < c/a < 1, b/a < 0$, т. е. $a > c > 0, b < 0$. Далее, $P(1) = a + b + c > 0$, откуда $a + c > -b$. Возводя в квадрат обе (положительные) части последнего неравенства, получаем $a^{2} + 2ac + c^{2} > b^{2}$, откуда имеем оценки $(a - c)^{2} > b^{2} – 4ac > 0$, из которых вытекает, что $a – c \geq 2$. Если предположить, что $a \leq 4$, то возможны лишь три набора целых коэффициентов $a, c$:
$a_{1} = 4, c_{1} = 2; a_{2} = 3, c_{2} = 1; a_{3} = 4, c_{3} = 1$,
а для коэффициента $b$ должны .быть выполнены соответственно три условия:
$4 > b_{1}^{2} – 32 > 0, 4 > b_{2}^{2} - 12 > 0, 9 > b_{3}^{2} - 16>0$.
Но ни одно целое число не удовлетворяет ни одному из этих трех условий. Следовательно, $a \geq 5$. Наконец, уравнение $5x^{2} – 5x + 1 = 0$ имеет своими корнями числа $(5 + \sqrt{5})/10$ и $(5 - \sqrt{5})/10$, принадлежащие интервалу $(0;1)$.
Про целые числа $a, b, c$ известно, что $a > 0$, а многочлен $ax^{2} + bx + c$ имеет два различных корня на интервале (0; 1). Доказать, что $a \geq 5$. Найти хотя бы одну пару чисел $b, c$ при $a = 5$.
Решение:
Поскольку многочлен $P(x) = ax^{2} + bx + c (a > 0)$ имеет два различных корня $0 < x_{1} < x_{2} < 1$, то $b^{2} > 4ac$ и в силу теоремы Виета $0 < c/a < 1, b/a < 0$, т. е. $a > c > 0, b < 0$. Далее, $P(1) = a + b + c > 0$, откуда $a + c > -b$. Возводя в квадрат обе (положительные) части последнего неравенства, получаем $a^{2} + 2ac + c^{2} > b^{2}$, откуда имеем оценки $(a - c)^{2} > b^{2} – 4ac > 0$, из которых вытекает, что $a – c \geq 2$. Если предположить, что $a \leq 4$, то возможны лишь три набора целых коэффициентов $a, c$:
$a_{1} = 4, c_{1} = 2; a_{2} = 3, c_{2} = 1; a_{3} = 4, c_{3} = 1$,
а для коэффициента $b$ должны .быть выполнены соответственно три условия:
$4 > b_{1}^{2} – 32 > 0, 4 > b_{2}^{2} - 12 > 0, 9 > b_{3}^{2} - 16>0$.
Но ни одно целое число не удовлетворяет ни одному из этих трех условий. Следовательно, $a \geq 5$. Наконец, уравнение $5x^{2} – 5x + 1 = 0$ имеет своими корнями числа $(5 + \sqrt{5})/10$ и $(5 - \sqrt{5})/10$, принадлежащие интервалу $(0;1)$.
