Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4145
2019-07-18 
С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, отсекающую от данного угла треугольник заданного периметра.
Решение:
Пусть $A$ - вершина данного угла, $2p$ - данный периметр. Отложим на сторонах угла точки $B$ и $C$ так, что $AB=AC=p$. Впишем в угол окружность, касающуюся его сторон в точках $B$ и $C$.
Пусть $M$ - точка внутри данного угла (рис.1). Если точка $M$ окажется внутри криволинейного треугольника $ABC$, ограниченного отрезками $AB$, $AC$ и меньшей дугой $BC$ окружности, то проведём через точку $M$ касательные к окружности.
Пусть одна из проведённых касательных пересекает стороны $AB$ и $AC$ данного угла в точках $P$ и $Q$ соответственно и касается окружности в точке $K$. Тогда
$AP+PQ+QA=AP+(PK+KQ)+QA=(AP+PK)+(KQ+QA)=(AP+PB)+(CQ+QA)=AB+AC=2p.$
Аналогично для второй касательной. Таким образом, в этом случае задача имеет два решения (если точка $M$ лежит на меньшей дуге $BC$ и отлична от точек $B$ и $C$, то эти решения совпадают).
Если точка $M$ лежит внутри угла, но вне указанного криволинейного треугольника, то задача не имеет решений.
Пусть теперь точка $M$ расположена вне угла (рис.2). Если одна из касательных к построенной окружности отсекает от данного угла треугольник, для которого эта окружность - вневписанная, то отсечённый треугольник - искомый (доказательство аналогично изложенному выше). В этом случае задача имеет единственное решение.
В остальных случаях решений нет.
С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, отсекающую от данного угла треугольник заданного периметра.
Решение:
Пусть $A$ - вершина данного угла, $2p$ - данный периметр. Отложим на сторонах угла точки $B$ и $C$ так, что $AB=AC=p$. Впишем в угол окружность, касающуюся его сторон в точках $B$ и $C$.
Пусть $M$ - точка внутри данного угла (рис.1). Если точка $M$ окажется внутри криволинейного треугольника $ABC$, ограниченного отрезками $AB$, $AC$ и меньшей дугой $BC$ окружности, то проведём через точку $M$ касательные к окружности.
Пусть одна из проведённых касательных пересекает стороны $AB$ и $AC$ данного угла в точках $P$ и $Q$ соответственно и касается окружности в точке $K$. Тогда
$AP+PQ+QA=AP+(PK+KQ)+QA=(AP+PK)+(KQ+QA)=(AP+PB)+(CQ+QA)=AB+AC=2p.$
Аналогично для второй касательной. Таким образом, в этом случае задача имеет два решения (если точка $M$ лежит на меньшей дуге $BC$ и отлична от точек $B$ и $C$, то эти решения совпадают).
Если точка $M$ лежит внутри угла, но вне указанного криволинейного треугольника, то задача не имеет решений.
Пусть теперь точка $M$ расположена вне угла (рис.2). Если одна из касательных к построенной окружности отсекает от данного угла треугольник, для которого эта окружность - вневписанная, то отсечённый треугольник - искомый (доказательство аналогично изложенному выше). В этом случае задача имеет единственное решение.
В остальных случаях решений нет.
