Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 414
2014-06-07 
Пусть $a$ и $b$ - два из четырех корней многочлена $x^{4} + x^{3} – 1$. Доказать, что $ab$ - корень многочлена $x^{6} + x^{4} + x^{3} – x^{2} – 1$.
Решение:
Пусть $a, b, c, d$ - корни многочлена
$P(x) = x^{4} + x^{3} – 1 = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$.
Докажем равенство
$(ab)^{3} + (cd)^{3} + ab + cd + 1 = 0$
(из которого будет вытекать требуемое
$(ab)^{6} + (ab)^{4} + (ab)^{3} – (ab)^{2} - 1 = (ab)^{3} \left ( (ab)^{3} - \left ( \frac{1}{ab} \right )^{3} + ab - \frac{1}{ab} + 1 \right ) = 0$,
так как по теореме Виета $abcd = -1$). Действительно, из равенств $P(a) = P(b) = 0$ имеем $a^{3} = 1/(a + 1), b^{3} = 1/(b + 1)$, откуда получаем
$(ab)^{3} = \frac{1}{(1+a)(1+b)} = \frac{(1+c)(1+d)}{P(-1)} = - (1 + c)(1 + d)$.
Аналогично получаем $(cd)^{3} = - (1 + a)(1 + b)$. Следовательно, имеем
$(ab)^{3} + (cd)^{3} + ab + cd + 1 = - (1+c)(1+d) – (1+a)(1+b)+ab+cd+1 =$
$= - 1 – a – b – c –d =0$,
так как по теореме Виета $a + b + c + d = - 1$.
Пусть $a$ и $b$ - два из четырех корней многочлена $x^{4} + x^{3} – 1$. Доказать, что $ab$ - корень многочлена $x^{6} + x^{4} + x^{3} – x^{2} – 1$.
Решение:
Пусть $a, b, c, d$ - корни многочлена
$P(x) = x^{4} + x^{3} – 1 = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$.
Докажем равенство
$(ab)^{3} + (cd)^{3} + ab + cd + 1 = 0$
(из которого будет вытекать требуемое
$(ab)^{6} + (ab)^{4} + (ab)^{3} – (ab)^{2} - 1 = (ab)^{3} \left ( (ab)^{3} - \left ( \frac{1}{ab} \right )^{3} + ab - \frac{1}{ab} + 1 \right ) = 0$,
так как по теореме Виета $abcd = -1$). Действительно, из равенств $P(a) = P(b) = 0$ имеем $a^{3} = 1/(a + 1), b^{3} = 1/(b + 1)$, откуда получаем
$(ab)^{3} = \frac{1}{(1+a)(1+b)} = \frac{(1+c)(1+d)}{P(-1)} = - (1 + c)(1 + d)$.
Аналогично получаем $(cd)^{3} = - (1 + a)(1 + b)$. Следовательно, имеем
$(ab)^{3} + (cd)^{3} + ab + cd + 1 = - (1+c)(1+d) – (1+a)(1+b)+ab+cd+1 =$
$= - 1 – a – b – c –d =0$,
так как по теореме Виета $a + b + c + d = - 1$.
