Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4133
2019-07-18 
В параллелограмме $ABCD$ с углом $A$, равным $60^{\circ}$, проведена биссектриса угла $B$, пересекающая сторону $CD$ в точке $E$. В треугольник $ECB$ вписана окружность радиуса $R$. Другая окружность вписана в трапецию $ABED$. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, вписанных соответственно в треугольник $BCE$ и в трапецию $ABED$. Треугольник $O_{1}EO_{2}$ - прямоугольный, т.к. угол $O_{1}EO_{2}$ - прямой (угол между биссектрисами смежных углов). Треугольник $BCE$ - равносторонний
$(\angle BEC=\angle ABE=\angle EBC=60^{\circ}),$
$O_{1}E=2R$, высота $EM$ равна $3R$. Поэтому
$O_{2}B=EM=3R.$
Тогда
$EO_{2}=O_{2}Btg\angle O_{2}BE=3Rtg30^{\circ}=R\sqrt{3}.$
Следовательно,
$O_{1}O_{2}=\sqrt{4R^{2}+3R^{2}}=R\sqrt{7}.$
В параллелограмме $ABCD$ с углом $A$, равным $60^{\circ}$, проведена биссектриса угла $B$, пересекающая сторону $CD$ в точке $E$. В треугольник $ECB$ вписана окружность радиуса $R$. Другая окружность вписана в трапецию $ABED$. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, вписанных соответственно в треугольник $BCE$ и в трапецию $ABED$. Треугольник $O_{1}EO_{2}$ - прямоугольный, т.к. угол $O_{1}EO_{2}$ - прямой (угол между биссектрисами смежных углов). Треугольник $BCE$ - равносторонний
$(\angle BEC=\angle ABE=\angle EBC=60^{\circ}),$
$O_{1}E=2R$, высота $EM$ равна $3R$. Поэтому
$O_{2}B=EM=3R.$
Тогда
$EO_{2}=O_{2}Btg\angle O_{2}BE=3Rtg30^{\circ}=R\sqrt{3}.$
Следовательно,
$O_{1}O_{2}=\sqrt{4R^{2}+3R^{2}}=R\sqrt{7}.$
