Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4132
2019-07-18 
Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около неё, если известно, что эти окружности существуют.
Решение:
Поскольку трапеция вписанная, то она - равнобедренная. Пусть $r$ и $R$ - радиусы вписанной и описанной окружностей.
Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки 2 и 8. Поэтому $r=\sqrt{2\cdot8}=4$.
Диагональ трапеции - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 8 (высота трапеции, опущенная из вершины меньшего основания на большее) и 10 (проекция диагонали на большее основание, равная длине средней линии). Эта диагональ видна из вершины большего основания трапеции под углом $\alpha$, синус которого равен $\frac{4}{5}$ (угол боковой стороны с основанием). Следовательно,
$R=\frac{\sqrt{8^{2}+10^{2}}}{2\sin\alpha}=\frac{2\sqrt{41}}{\frac{8}{5}}=\frac{5\sqrt{41}}{4}.$
Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около неё, если известно, что эти окружности существуют.
Решение:
Поскольку трапеция вписанная, то она - равнобедренная. Пусть $r$ и $R$ - радиусы вписанной и описанной окружностей.
Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки 2 и 8. Поэтому $r=\sqrt{2\cdot8}=4$.
Диагональ трапеции - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 8 (высота трапеции, опущенная из вершины меньшего основания на большее) и 10 (проекция диагонали на большее основание, равная длине средней линии). Эта диагональ видна из вершины большего основания трапеции под углом $\alpha$, синус которого равен $\frac{4}{5}$ (угол боковой стороны с основанием). Следовательно,
$R=\frac{\sqrt{8^{2}+10^{2}}}{2\sin\alpha}=\frac{2\sqrt{41}}{\frac{8}{5}}=\frac{5\sqrt{41}}{4}.$
