Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4131
2019-07-18 
В некоторый угол вписана окружность радиуса 5. Хорда, соединяющая точки касания, равна 8. К окружности проведены две касательные, параллельные хорде. Найдите стороны полученной трапеции.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, $P$ и $Q$ - точки касания окружности с боковыми сторонами $CD$ и $AB$ полученной равнобедренной трапеции $ABCD$, $K$ - середина $PQ$, $M$ - середина $CD$.
Из подобия треугольников $PKO$ и $OPM$ следует, что
$\frac{OP}{OM}=\frac{KP}{OP},~OM=\frac{OP^{2}}{KP}=\frac{25}{4}.$
Поскольку средняя линия трапеции равна $\frac{25}{2}$, то
$CD=AB=\frac{25}{2}.$
Пусть $N$ - проекция вершины $C$ на большее основание $AD$. Из подобия треугольников $CND$ и $PKO$ находим, что
$\frac{ND}{KO}=\frac{CN}{KP},~ND=\frac{CN\cdot KO}{KP}=\frac{10\cdot3}{4}=\frac{15}{2},$
а т.к. отрезок $AN$ равен средней линии трапеции, то $AN=\frac{25}{2}$. Следовательно,
$AD=AN+ND=\frac{25}{2}+\frac{15}{2}=20,~BC=AD-2ND=20-15=5.$
В некоторый угол вписана окружность радиуса 5. Хорда, соединяющая точки касания, равна 8. К окружности проведены две касательные, параллельные хорде. Найдите стороны полученной трапеции.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, $P$ и $Q$ - точки касания окружности с боковыми сторонами $CD$ и $AB$ полученной равнобедренной трапеции $ABCD$, $K$ - середина $PQ$, $M$ - середина $CD$.
Из подобия треугольников $PKO$ и $OPM$ следует, что
$\frac{OP}{OM}=\frac{KP}{OP},~OM=\frac{OP^{2}}{KP}=\frac{25}{4}.$
Поскольку средняя линия трапеции равна $\frac{25}{2}$, то
$CD=AB=\frac{25}{2}.$
Пусть $N$ - проекция вершины $C$ на большее основание $AD$. Из подобия треугольников $CND$ и $PKO$ находим, что
$\frac{ND}{KO}=\frac{CN}{KP},~ND=\frac{CN\cdot KO}{KP}=\frac{10\cdot3}{4}=\frac{15}{2},$
а т.к. отрезок $AN$ равен средней линии трапеции, то $AN=\frac{25}{2}$. Следовательно,
$AD=AN+ND=\frac{25}{2}+\frac{15}{2}=20,~BC=AD-2ND=20-15=5.$
