Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4130
2019-07-18 
Около окружности радиуса $R$ описана равнобедренная трапеция $ABCD$; $E$ и $K$ - точки касания этой окружности с боковыми сторонами $AD$ и $BC$. Угол между основанием $AB$ и боковой стороной $AD$ трапеции равен $60^{\circ}$. Докажите, что $EK$ параллельно $AB$ и найдите площадь трапеции $ABKE$.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - точки касания окружности с основаниями $AB$ и $CD$ соответственно, а точки $E$ и $K$ лежат на боковых сторонах соответственно $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$. Поскольку трапеция равнобедренная, точки $M$ и $N$ - середины оснований. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому
$DE=DN=NC=CK,~AE=AM=MB=BK,$
Значит, $\frac{DE}{AE}=\frac{CK}{BK}$, причём $AB\parallel CD$. Следовательно, $EK\parallel AB$.
Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $P$. Тогда треугольник $ABP$ равносторонний, а окружность радиуса $R$, вписанная в трапецию $ABCD$, - вписанная окружность треугольника $ABC$. Значит, точки $E$ и $K$ - середины сторон $AP$ и $BP$ этого треугольника. Тогда $EK$ - его средняя линия, поэтому $S_{\Delta PEK}=\frac{1}{4}S_{\Delta ABP}$.
Пусть $O$ - центр окружности. Тогда $AO$ - биссектриса угла $BAP$, равного $60^{\circ}$. Из прямоугольного треугольника $AOM$ находим, что $AM=OMctg\angle OAM=Rctg30^{\circ}=R\sqrt{3}$, поэтому
$AP=BP=AB=2R\sqrt{3},~S_{\Delta APB}=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{12R^{2}\sqrt{3}}{4}=3R^{2}\sqrt{3}.$
Следовательно,
$S_{ABKE}=\frac{3}{4}S_{\Delta APB}=\frac{3}{4}\cdot3R^{2}\sqrt{3}=\frac{9R^{2}\sqrt{3}}{4}.$
Около окружности радиуса $R$ описана равнобедренная трапеция $ABCD$; $E$ и $K$ - точки касания этой окружности с боковыми сторонами $AD$ и $BC$. Угол между основанием $AB$ и боковой стороной $AD$ трапеции равен $60^{\circ}$. Докажите, что $EK$ параллельно $AB$ и найдите площадь трапеции $ABKE$.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - точки касания окружности с основаниями $AB$ и $CD$ соответственно, а точки $E$ и $K$ лежат на боковых сторонах соответственно $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$. Поскольку трапеция равнобедренная, точки $M$ и $N$ - середины оснований. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому
$DE=DN=NC=CK,~AE=AM=MB=BK,$
Значит, $\frac{DE}{AE}=\frac{CK}{BK}$, причём $AB\parallel CD$. Следовательно, $EK\parallel AB$.
Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $P$. Тогда треугольник $ABP$ равносторонний, а окружность радиуса $R$, вписанная в трапецию $ABCD$, - вписанная окружность треугольника $ABC$. Значит, точки $E$ и $K$ - середины сторон $AP$ и $BP$ этого треугольника. Тогда $EK$ - его средняя линия, поэтому $S_{\Delta PEK}=\frac{1}{4}S_{\Delta ABP}$.
Пусть $O$ - центр окружности. Тогда $AO$ - биссектриса угла $BAP$, равного $60^{\circ}$. Из прямоугольного треугольника $AOM$ находим, что $AM=OMctg\angle OAM=Rctg30^{\circ}=R\sqrt{3}$, поэтому
$AP=BP=AB=2R\sqrt{3},~S_{\Delta APB}=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{12R^{2}\sqrt{3}}{4}=3R^{2}\sqrt{3}.$
Следовательно,
$S_{ABKE}=\frac{3}{4}S_{\Delta APB}=\frac{3}{4}\cdot3R^{2}\sqrt{3}=\frac{9R^{2}\sqrt{3}}{4}.$
