Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4128
2019-07-18 
Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 5. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.
Решение:
Пусть $a$ и $b$ - длины оснований $AD$ и $CB$ трапеции $ABCD$; $P$, $F$, $Q$, $T$ - точки касания окружности со сторонами $CD$, $AD$, $AB$ и $BC$ соответственно; $O$ - центр окружности; $K$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $PFQT$; $M$ - середина $AB$. Тогда
$OM=\frac{a+b}{4},~a+b=5.$
Из подобия треугольников $KQO$ и $QOM$ находим, что
$KQ=\frac{OQ^{2}}{OM}=\frac{4}{a+b}.$
Следовательно, искомая площадь равна
$\frac{1}{2}PQ\cdot FT=KQ\cdot FT=\frac{8}{a+b}=\frac{8}{5}.$
Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 5. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.
Решение:
Пусть $a$ и $b$ - длины оснований $AD$ и $CB$ трапеции $ABCD$; $P$, $F$, $Q$, $T$ - точки касания окружности со сторонами $CD$, $AD$, $AB$ и $BC$ соответственно; $O$ - центр окружности; $K$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $PFQT$; $M$ - середина $AB$. Тогда
$OM=\frac{a+b}{4},~a+b=5.$
Из подобия треугольников $KQO$ и $QOM$ находим, что
$KQ=\frac{OQ^{2}}{OM}=\frac{4}{a+b}.$
Следовательно, искомая площадь равна
$\frac{1}{2}PQ\cdot FT=KQ\cdot FT=\frac{8}{a+b}=\frac{8}{5}.$
