ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-18   
Около окружности описана трапеция $ABCD$, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, $M$ - точка пересечения диагоналей трапеции. Площадь треугольника $CMD$ равна $S$. Найдите радиус окружности.


Решение:



Поскольку треугольники $BAC$ и $BDC$ равновелики, а треугольник $BMC$ - их общая часть, то площадь треугольника $AMB$ также равна $S$.
Пусть $O$ - центр окружности; $R$ - её радиус; $P$, $F$ и $Q$ - точки касания со сторонами $BC$, $CD$ и $AD$ соответственно; $K$ - проекция точки $M$ на сторону $AB$. Тогда

$CF=CP=BC-BP=BC-R,~DF=DQ=AD-AQ=AD-R.$

В прямоугольном треугольнике $COD$ известно, что

$R^{2}=OF^{2}=CF\cdot DF=(BC-R)(AD-R).$

Отсюда находим, что $R=\frac{AD\cdot BC}{AD+BC}$.
С другой стороны, из подобия треугольников $AKM$ и $ABC$ следует, что $KM=\frac{BC\cdot AM}{AC}$, а из подобия треугольников $AMD$ и $CMB$ -

$\frac{AM}{AC}=\frac{AD}{AD+BC}.$

Поэтому $KM=\frac{BC\cdot AD}{AD+BC}=R$.
Поскольку $AB=2R$, то

$S=S_{\Delta AMB}=\frac{1}{2}AB\cdot KM=\frac{1}{2}2R\cdot R=R^{2}.$

Следовательно, $R=\sqrt{S}$.