Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4124
2019-07-18 
Около окружности описана равнобедренная трапеция $ABCD$. Боковые стороны $AB$ и $CD$ касаются окружности в точках $M$ и $N$, $K$ - середина $AD$. В каком отношении прямая $BK$ делит отрезок $MN$?
Решение:
Обозначим $x=AK$, $y=BF$, где $F$ - середина $BC$. Пусть $Q$ - точка пересечения $KF$ и $MN$, а $P$ - точка пересечения $MN$ и $BK$. Тогда
$AM=AK=x,~BM=BF=y$
и $Q$ - середина $MN$.
Поскольку $MN$ параллельно основаниям трапеции, то треугольник $BMP$ подобен треугольнику $BAK$, а треугольник $KPQ$ подобен треугольнику $KBF$. Поэтому
$\frac{PM}{x}=\frac{y}{x+y},~\frac{PQ}{y}=\frac{x}{x+y}.$
Следовательно, $PM=PQ$ и $PM=\frac{1}{4}MN$.
Около окружности описана равнобедренная трапеция $ABCD$. Боковые стороны $AB$ и $CD$ касаются окружности в точках $M$ и $N$, $K$ - середина $AD$. В каком отношении прямая $BK$ делит отрезок $MN$?
Решение:
Обозначим $x=AK$, $y=BF$, где $F$ - середина $BC$. Пусть $Q$ - точка пересечения $KF$ и $MN$, а $P$ - точка пересечения $MN$ и $BK$. Тогда
$AM=AK=x,~BM=BF=y$
и $Q$ - середина $MN$.
Поскольку $MN$ параллельно основаниям трапеции, то треугольник $BMP$ подобен треугольнику $BAK$, а треугольник $KPQ$ подобен треугольнику $KBF$. Поэтому
$\frac{PM}{x}=\frac{y}{x+y},~\frac{PQ}{y}=\frac{x}{x+y}.$
Следовательно, $PM=PQ$ и $PM=\frac{1}{4}MN$.
