Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4123
2019-07-18 
В равнобедренную трапецию с основаниями $a$ и $b$ вписана окружность. Найдите диагональ трапеции.
Решение:
Пусть окружность с центром $O$, вписанная в равнобедренную трапецию $ABCD$, касается боковой стороны $AB$ в точке $M$, а оснований $BC$ и $AD$ - в точках $N$ и $L$ соответственно.
Поскольку $OM$ - высота прямоугольного треугольника $AOB$, опущенная из вершины прямого угла, то
$OM=\sqrt{MA\cdot MB}=\sqrt{AL\cdot BN}=\sqrt{\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}.$
Опустим перпендикуляр $BH$ на $AD$. Тогда
$DH=\frac{BC+AD}{2}=\frac{a+b}{2},~BH=2OM=\sqrt{ab}.$
Из прямоугольного треугольника $BHD$ находим, что
$BD=\sqrt{BH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{ab+\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+6ab+b^{2}}.$
В равнобедренную трапецию с основаниями $a$ и $b$ вписана окружность. Найдите диагональ трапеции.
Решение:
Пусть окружность с центром $O$, вписанная в равнобедренную трапецию $ABCD$, касается боковой стороны $AB$ в точке $M$, а оснований $BC$ и $AD$ - в точках $N$ и $L$ соответственно.
Поскольку $OM$ - высота прямоугольного треугольника $AOB$, опущенная из вершины прямого угла, то
$OM=\sqrt{MA\cdot MB}=\sqrt{AL\cdot BN}=\sqrt{\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}.$
Опустим перпендикуляр $BH$ на $AD$. Тогда
$DH=\frac{BC+AD}{2}=\frac{a+b}{2},~BH=2OM=\sqrt{ab}.$
Из прямоугольного треугольника $BHD$ находим, что
$BD=\sqrt{BH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{ab+\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+6ab+b^{2}}.$
