Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 412
2014-06-07 
Найти все значения $a$, при которых корни $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ многочлена $x^{3} – 6x^{2} + ax + a$ удовлетворяют равенству
$(x_{1} - 3)^{3} + (x_{2} - 3)^{3} + (x_{3} - 3)^{3} = 0$.
Решение:
Сделаем замену $y = x – 3$, тогда числа $y_{1} = x_{1} – 3, y_{2} = x_{2} – 3$ и $y_{3} = x_{3} – 3$ являются корнями многочлена
$(y + 3)^{3} - 6(y + 3)^{2} + a(y + 3) + a = y^{3} + 3 y^{2} + (a - 9) y + 4a – 27$.
По теореме Виета имеем равенства
$y_{1} + y_{2} + y_{3} = -3$,
$y_{1}y_{2} + y_{1}y_{3} + y_{2}y_{3} = a - 9$,
$y_{1}y_{2}y_{3} = 27 – 4a$,
а кроме того, должно выполняться соотношение $y_{1}^{3} + y_{2}^{3} + y_{3}^{3} = 0$. Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости тождества
$y_{1}^{3} + y_{2}^{3} + y_{3}^{3} \equiv (y_{1} + y_{2} + y_{3})^{3} – 3 (y_{1}y_{2} + y_{1}y_{3} + y_{2}y_{3})(y_{1}+y_{2}+y_{3}) + 3y_{1}y_{2}y_{3}$,
из которого получаем необходимое и достаточное условие для $a$:
$0 = (-3)^{3} - 3(a - 9) \cdot (-3) + 3(27 – 4a) = - 27 – 3a$,
т.е. $a= -9$.
Найти все значения $a$, при которых корни $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ многочлена $x^{3} – 6x^{2} + ax + a$ удовлетворяют равенству
$(x_{1} - 3)^{3} + (x_{2} - 3)^{3} + (x_{3} - 3)^{3} = 0$.
Решение:
Сделаем замену $y = x – 3$, тогда числа $y_{1} = x_{1} – 3, y_{2} = x_{2} – 3$ и $y_{3} = x_{3} – 3$ являются корнями многочлена
$(y + 3)^{3} - 6(y + 3)^{2} + a(y + 3) + a = y^{3} + 3 y^{2} + (a - 9) y + 4a – 27$.
По теореме Виета имеем равенства
$y_{1} + y_{2} + y_{3} = -3$,
$y_{1}y_{2} + y_{1}y_{3} + y_{2}y_{3} = a - 9$,
$y_{1}y_{2}y_{3} = 27 – 4a$,
а кроме того, должно выполняться соотношение $y_{1}^{3} + y_{2}^{3} + y_{3}^{3} = 0$. Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости тождества
$y_{1}^{3} + y_{2}^{3} + y_{3}^{3} \equiv (y_{1} + y_{2} + y_{3})^{3} – 3 (y_{1}y_{2} + y_{1}y_{3} + y_{2}y_{3})(y_{1}+y_{2}+y_{3}) + 3y_{1}y_{2}y_{3}$,
из которого получаем необходимое и достаточное условие для $a$:
$0 = (-3)^{3} - 3(a - 9) \cdot (-3) + 3(27 – 4a) = - 27 – 3a$,
т.е. $a= -9$.
