Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4114
2019-07-18 
В равнобедренную трапецию вписана окружность. Расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции относится к радиусу как $3:5$. Найдите отношение периметра трапеции к длине вписанной окружности.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, $P$ - точка касания с боковой стороной $AB$, $F$ и $T$ - точки касания окружности с основаниями $AD$ и $BC$, $M$ - середина $AB$, $K$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции. Обозначим $OK=3x$, $OP=5x$.
Поскольку $AP:PB=AF:BT=AK:KC$, то $KP\parallel BC\parallel OM$. Из прямоугольного треугольника $OKP$ находим, что $KP=4x$. Из подобия треугольников $OKP$ и $MPO$ находим, что
$OM=\frac{OP^{2}}{KP}=\frac{25x}{4}.$
Тогда периметр трапеции равен $8OM=50x$. Следовательно, искомое отношение равно
$\frac{50x}{2\pi\cdot5x}=\frac{5}{\pi}.$
В равнобедренную трапецию вписана окружность. Расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции относится к радиусу как $3:5$. Найдите отношение периметра трапеции к длине вписанной окружности.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, $P$ - точка касания с боковой стороной $AB$, $F$ и $T$ - точки касания окружности с основаниями $AD$ и $BC$, $M$ - середина $AB$, $K$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции. Обозначим $OK=3x$, $OP=5x$.
Поскольку $AP:PB=AF:BT=AK:KC$, то $KP\parallel BC\parallel OM$. Из прямоугольного треугольника $OKP$ находим, что $KP=4x$. Из подобия треугольников $OKP$ и $MPO$ находим, что
$OM=\frac{OP^{2}}{KP}=\frac{25x}{4}.$
Тогда периметр трапеции равен $8OM=50x$. Следовательно, искомое отношение равно
$\frac{50x}{2\pi\cdot5x}=\frac{5}{\pi}.$
