Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4113
2019-07-18 
Около окружности радиуса $\frac{2}{\sqrt{3}}$ описана равнобедренная трапеция. Угол между диагоналями трапеции, опирающийся на основание, равен $2~arctg\frac{2}{\sqrt{3}}$. Найдите отрезок, соединяющий точки касания окружности с большим основанием трапеции и одной из её боковых сторон.
Решение:
Пусть $Q$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$; $N$, $M$ и $K$ - точки касания вписанной окружности с меньшим основанием $AD$, боковой стороной $AB$ и большим основанием $BC$ соответственно; $O$ - центр окружности. Обозначим $AN=x$, $BK=y$. Поскольку треугольник $AOB$ прямоугольный (см. задачу @H313), а $OM$ - его высота, опущенная на гипотенузу,
$\frac{4}{3}=OM^{2}=AM\cdot BM=AN\cdot BK=xy,$
$x+y=AN+BK=(NQ+QK)tg\angle AQN=\frac{8}{3}.$
Из полученной системы находим, что $x=\frac{2}{3}$ и $y=2$. Следовательно,
$\cos\angle ABK=\frac{y-x}{y+x}=\frac{1}{2},~\angle ABK=60^{\circ},~MK=y=2.$
Около окружности радиуса $\frac{2}{\sqrt{3}}$ описана равнобедренная трапеция. Угол между диагоналями трапеции, опирающийся на основание, равен $2~arctg\frac{2}{\sqrt{3}}$. Найдите отрезок, соединяющий точки касания окружности с большим основанием трапеции и одной из её боковых сторон.
Решение:
Пусть $Q$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$; $N$, $M$ и $K$ - точки касания вписанной окружности с меньшим основанием $AD$, боковой стороной $AB$ и большим основанием $BC$ соответственно; $O$ - центр окружности. Обозначим $AN=x$, $BK=y$. Поскольку треугольник $AOB$ прямоугольный (см. задачу @H313), а $OM$ - его высота, опущенная на гипотенузу,
$\frac{4}{3}=OM^{2}=AM\cdot BM=AN\cdot BK=xy,$
$x+y=AN+BK=(NQ+QK)tg\angle AQN=\frac{8}{3}.$
Из полученной системы находим, что $x=\frac{2}{3}$ и $y=2$. Следовательно,
$\cos\angle ABK=\frac{y-x}{y+x}=\frac{1}{2},~\angle ABK=60^{\circ},~MK=y=2.$
