ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-18   
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 8, а площадь 2, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.


Решение:



Пусть $AD$ - меньшее основание, $AB$ - боковая сторона, $BC$ - большее основание трапеции $ABCD$, $M$ - точка касания окружности со стороной $AB$, $N$ - со стороной $AD$, $Q$ - точка пересечения диагоналей, $O$ - центр окружности, $R$ - её радиус.
Поскольку трапеция описана около окружности, сумма её боковых сторон равна сумме оснований, т.е. 4, поэтому

$S_{ABCD}=2R\cdot\frac{AD+BC}{2}=2R\cdot\frac{4}{2}=4R.$

Значит, $R=\frac{1}{2}$.
С другой стороны, треугольник $AOB$ прямоугольный, а $OM$ - его высота, опущенная на гипотенузу, поэтому

$AM\cdot MB=OM^{2}=R^{2}$, или $AM(AB-AM)=R^{2}$, или $AM(2-AM)=\frac{1}{4}.$

Из этого уравнения находим, что $AM=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$.
Пусть $K$ - основание высоты $AK$ трапеции $ABCD$. Тогда

$CK=\frac{AD+BC}{2}=2,~tg\angle NAQ=tg\angle ACK=\frac{AK}{CK}=\frac{1}{2},$

$QN=NAtg\angle NAQ=MAtg\angle NAQ=\frac{2-\sqrt{3}}{4}.$