Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4111
2019-07-18 
Окружность, вписанная в трапецию $ABCD$, касается боковой стороны $AB$ в точке $F$. Найдите площадь трапеции, если $AF=m$, $FB=n$, а меньшее основание трапеции $BC$ равно $b$.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности; $M$, $K$, $N$ - точки касания со сторонами $BC$, $CD$, $AD$ соответственно, $R$ - радиус окружности. Тогда
$OF^{2}=BF\cdot AF=mn,~R=OF=\sqrt{mn},~CK=CM=CB-BM=b-n.$
Поскольку $OK^{2}=CK\cdot KD$, то
$KD=\frac{mn}{b-n},~AD=AN+ND=m+\frac{mn}{b-n}.$
Следовательно,
$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot2R=\frac{1}{2}\left(b+m+\frac{mn}{b-n}\right)\cdot2\sqrt{mn}=\left(b+m+\frac{mn}{b-n}\right)\sqrt{mn}.$
Окружность, вписанная в трапецию $ABCD$, касается боковой стороны $AB$ в точке $F$. Найдите площадь трапеции, если $AF=m$, $FB=n$, а меньшее основание трапеции $BC$ равно $b$.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности; $M$, $K$, $N$ - точки касания со сторонами $BC$, $CD$, $AD$ соответственно, $R$ - радиус окружности. Тогда
$OF^{2}=BF\cdot AF=mn,~R=OF=\sqrt{mn},~CK=CM=CB-BM=b-n.$
Поскольку $OK^{2}=CK\cdot KD$, то
$KD=\frac{mn}{b-n},~AD=AN+ND=m+\frac{mn}{b-n}.$
Следовательно,
$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot2R=\frac{1}{2}\left(b+m+\frac{mn}{b-n}\right)\cdot2\sqrt{mn}=\left(b+m+\frac{mn}{b-n}\right)\sqrt{mn}.$
